A função

f(x) = 1 / (1 + x^2)

É representada por uma série de potências no intervalo (-1,1) . Ache essa série de potências. Depois ache a série de potências que representa a função

f(x) = x^5 / (1 + x^2)

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar aqui!

Da parte 1 dessa questão achamos a representação dessa função em série de potências

f x = 1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Beleza? E queremos achar agora a representação dessa aqui

f x = x 5 1 + x 2

E agora, qual é o pulo do gato?

Uma vez que a gente sabe a representação de uma função, podemos usar ela para achar a representação de outras funções que sejam parecidas!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Notem que de

1 1 + x 2

Para

x 5 1 + x 2

Temos apenas uma multiplicação por x 5

Tranquilo até aqui?

Então podemos apenas multiplicar pela potência de x a nossa série de potências

Bora trabalhar nisso?

Passo 3

Nossa função

f x = 1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Multiplicando dos dois lados por x 5 temos

1 1 + x 2 . x 5 = x 5 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Podemos agrupar as potências de x

x 5 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 5

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 5

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