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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2022.2 - 2ª Lista, Questão 15d

Calcule o comprimento das curvas dadas:

γ t = 1 - cos ⁡ t ,   t - sin ⁡ t ,   t ∈ 0 , π

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o comprimento da seguinte curva:

γ t = 1 - cos ⁡ t ,   t - sin ⁡ t

Sendo que t está contido no intervalo 0 , π .

Para isso, podemos usar a fórmula do comprimento de arco L da função γ t = x t , y t no intervalo a , b , que é dada por:

L = ∫ a b x ' t 2 + y ' t 2 d t

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, comparando a expressão que nos foi dada com a expressão do comprimento de arco, primeiro devemos calcular as derivadas de x t , y t :

  • Para x t = 1 - cos ⁡ t , temos:

    • x ' t = d d t 1 - d d t ( cos ⁡ t ) ∴

    x ' t = sin ⁡ t  

  • Para y t =   t - sin ⁡ t , temos:

y ' t = d d t t - d d t ( sin ⁡ t ) ∴

y ' t = 1 - cos ⁡ t  

Passo 3

Assim, substituindo na expressão e aplicando o intervalo dado, temos:

L = ∫ 0 π sin ⁡ t 2 + 1 - cos ⁡ t 2 d t ∴

L = ∫ 0 π 2 - 2 cos ⁡ t d t

Fazendo a substituição u = cos ⁡ t ∴ d u = - sin ⁡ t   d t , temos:

L = ∫ 0 π 2 - 2 u - 1 sin ⁡ t d u ∴

L = ∫ 0 π 2 - 2 u - csc ⁡ t d u ∴

Substituindo t , temos:

L = ∫ 0 π - 2 - 2 u csc ⁡ arccos ⁡ u d u

Utilizando a identidade trigonométrica csc ⁡ arccos ⁡ x = 1 1 - x 2 , temos:

L = ∫ 0 π - 2 - 2 u 1 1 - u 2 d u ∴

L = - ∫ 0 π 2 u + 1 d u

Ajustando os limites de integração, temos:

t = 0 ∴ u = cos ⁡ ( 0 ) = 1

E

t = π ∴ u = cos ⁡ ( π ) = - 1

Logo, a integral fica:

L = - ∫ - 1 1 2 u + 1 d u

Passo 4

Assim, aplicando a integração por partes, temos que:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Onde:

u = 2 u + 1 ∴ d u = - 1 2 u + 1 3 / 2

E

d v = d u ∴ v = u

Logo, substituindo, temos:

L = 2 u + 1 u - ∫ - 1 1 - u 2 u + 1 3 2 d u ∴

L = 2 u + 1 u - - 2 u + 2 u + 1 1 - 1 ∴

L = 2 2 * 1 + u 1 - 1 ∴

L = 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

L = 4

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