Calcule o comprimento das curvas dadas:

γ(t) = (3*t^2 - 4, t^2 + 1), t ∈ [1, 4]

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o comprimento da seguinte curva:

γ t = 3 t 2 - 4 ,   t 2 + 1

Sendo que t está contido no intervalo 1 , 4 .

Para isso, podemos usar a fórmula do comprimento de arco L da função γ t = x t , y t no intervalo a , b , que é dada por:

L = ∫ a b x ' t 2 + y ' t 2 d t

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, comparando a expressão que nos foi dada com a expressão do comprimento de arco, temos que:

x t = 3 t 2 - 4 ∴ x ' t = 6 t

E

y t = t 2 + 1 ∴ y ' t = 2 t

Assim, substituindo na expressão e aplicando o intervalo dado, temos:

L = ∫ 1 4 6 t 2 + 2 t 2 d t ∴

L = ∫ 1 4 40 t 2 d t ∴

L = ∫ 1 4 2 10 t d t ∴

L = 2 10 ∫ 1 4 t d t ∴

Resolvendo a integral, temos:

L = 2 10 * t 2 2 4 1 ∴

L = 15 10

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

L = 15 10

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