Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Diremos que um polinômio p(x) de ordem k é uma aproximação de ordem k de

uma função contínua f(x) para x “pequeno” se o limite

l i m x → 0 f ( x ) - p ( x ) x k + 1

existe e é finito. Neste caso, diremos que f(x) ≃ p(x). No Exercício 6 foi visto que

. Use isto para mostrar que

e x ≃   1   +   x   e   l o g ( 1   +   x )   ≃   x

( 1   +   x ) r   ≃   1   +   r x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 2!! Queremos mostrar que podemos aproximar

( 1   +   x ) r   ≃   1   +   r x

sabendo que

e x ≃   1   +   x   e   l o g ( 1   +   x )   ≃   x

Vamos nessa

Passo 2

Queremos aproximar

( 1   +   x ) r  

Mas vamos reescrever essa função como:

( 1   +   x ) r   = e r l n ( 1 + x )

Log, como enunciado diz que

e x ≃   1   +   x

então

e r l n ( 1 + x ) ≃   1   +   r l n ( 1 + x )

Utilizando a aproximação que o enunciado da

l o g ( 1   +   x )   ≃   x

então,

e r l n ( 1 + x ) ≃   1   +   r x

Logo

( 1   +   x ) r   ≃   1   +   r x

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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