Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva γ : [a, b] → R²

onde 0 < b - a ≤ 2 * pi da forma

γ(θ) = (x(θ), y(θ)) = (r(θ) * cos θ, r(θ) * sin θ)

Note que

Assim o comprimento do arco L da curva gamma é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva r(θ) = e^(θ/2) com extremos a = 0 e b = 2π

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 2!!! Queremos encontrar o comprimento de arco quando da curva r ( θ )   = e θ / 2   c o m   e x t r e m o s   a   =   0   e   b   =   2 π

Para isso, vamo usar a fórmula

Vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos começar calculando d r d θ . Como a nossa curva é dada por

r ( θ )   =   r ( θ )   = e θ / 2   c o m   e x t r e m o s   a   =   0   e   b   =   2 π

Temos que

d r d θ = r ( θ )   = e θ / 2 / 2

Logo, o comprimento é dado por:

L = ∫ 0 2 π e θ + e θ / 4 d θ

= ∫ 0 2 π 1 2 5 e θ d θ

= ∫ 0 2 π 5 2 e θ / 2 d θ

Integrando,

= 5 e θ / 2 | θ = 2 π θ = 0

Aplicando os limites de integração

= 5 ( e π - 1 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 5 ( e π - 1 )

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