Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

j )   ∑ k = 1 ∞ x k k + 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

o raio de convergência de uma série de potências é dado por esse limite aqui

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

Caso esse limite exista, claro!

E esse aqui é o pulo do gato!

A ideia é identificar quem é o termo geral a n , acrescentar um no contator e aplicar esse limite!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série

∑ k = 0 ∞ x k k + 2

Aí o termo geral é

a k = 1 k + 2

Fazendo k → k + 1 temos

a k + 1 = 1 k + 3

Tranquilo até aqui?

Agora vamos calcular a razão a k a k + 1

a k a k + 1 = 1 k + 2 . k + 3 1   = k + 3 k + 2

Tudo bem até aqui? Bora pro limite!

Passo 3

Jogando tudo no limite temos

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

R = lim k → ∞ ⁡ k + 3 k + 2

Temos que k > 0 , então o limite

lim k → ∞ ⁡ k + 3 k + 2 = lim k → ∞ ⁡ k + 3 k + 2

No infinito podemos dispensar aquele + 3 e + 2

lim k → ∞ ⁡ k k = 1

Aí nosso raio fica

R = 1

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

R = 1

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