UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2022.2 - 2ª Lista, Questão 10
A função definida por
Possui todas as derivadas.
Calcule a série de Taylor de .
Dica: Use que
Para concluir que se então
Passo 1
Oiii, bora comigo,vou explicar o cálculo da série de Taylor da função sem formatação de cores e de forma legível.
A série de Taylor de uma função em torno de é dada pela seguinte fórmula:
Onde é a n-ésima derivada de avaliada em e é o fatorial de
A função é definida da seguinte maneira:
Primeiro, encontramos as derivadas de em
1. (Isso é direto a partir da definição da função em :
2.
Aqui, usamos a regra da cadeia para encontrar a derivada da exponencial composta:
3. é a derivada segunda de \( f'(x) \):
Passo 2
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia. É um cálculo um pouco mais complicado, mas podemos fazê-lo.
Agora, para calcular substituímos na expressão acima:
No entanto, quando fazemos essa substituição, obtemos uma forma indeterminada , o que significa que não podemos calcular diretamente dessa maneira. Precisaríamos usar uma técnica diferente, como a regra de L'Hôpital, para encontrar esse valor. Mas aqui surge um problema: a função não é contínua em tornando a aplicação da regra de L'Hôpital problemática.
Além disso, quando olhamos para vemos que:
E, mais uma vez, ao calcular usando a substituição direta, obtemos uma forma indeterminada, o que indica que não podemos encontrar o valor de diretamente.
Passo 3
Essa situação de forma indeterminada ocorre porque a função possui oscilações extremamente rápidas e intensas à medida que se aproxima de o que torna as derivadas de ordem superior em difíceis de calcular.
Em resumo, a série de Taylor não converge para em devido à complexidade das derivadas da função nesse ponto, que não podem ser calculadas de forma direta e, portanto, não podemos determinar os coeficientes da série de Taylor.
Isso significa que a função não é analítica em , e a série de Taylor não é uma representação válida para a função nesse ponto.
Resposta
Vide o passo a passo.