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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

UFMG – Cálculo 2 – 2ª Lista de Exercícios – Questão 1f

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

f )   ∑ n = 2 ∞ x n log ⁡ n n 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

o raio de convergência de uma série de potências é dado por esse limite aqui

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

Caso esse limite exista, claro!

E esse aqui é o pulo do gato!

A ideia é identificar quem é o termo geral a n , acrescentar um no contator e aplicar esse limite!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série

∑ k = 0 ∞ x n log ⁡ k k 2

Aí o termo geral é

a k = log ⁡ k k 2

Fazendo k → k + 1 temos

a k + 1 = log ⁡ k + 1 k + 1 2

Tranquilo até aqui?

Agora vamos calcular a razão a k a k + 1

a k a k + 1 = log ⁡ k k 2 . k + 1 2 log ⁡ k + 1  

Tudo bem até aqui? Bora pro limite!

Passo 3

Jogando tudo no limite temos

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

R = lim k → ∞ ⁡ k + 1 2 k 2 . log ⁡ k log ⁡ k + 1

Podemos separar em dois limites

lim n → ∞ ⁡ k + 1 2 k 2 .   lim n → ∞ ⁡ log ⁡ k log ⁡ k + 1

Então o limite da esquerda

lim k → ∞ ⁡ k + 1 2 k 2

No infinito k + 1 tem o mesmo comportamento que k , então podemos dispensar aquele + 1

lim k → ∞ ⁡ n + 1 n = 1

Já o limite da direita

lim n → ∞ ⁡ log ⁡ k log ⁡ k + 1 = ⏝ L ´ h o p i t a l lim k → ∞ ⁡ 1 k 1 k + 1 = lim n → ∞ ⁡ k + 1 k

E recaímos no limite da esquerda que já sabemos ser 1

Aí nosso raio fica

R = 1

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

R = 1

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
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