UFMG – Cálculo 2 – 2ª Lista de Exercícios – Questão 1a
Calcule o raio de convergência das seguintes séries:
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!
o raio de convergência de uma série de potências é dado por esse limite aqui
Caso esse limite exista, claro!
E esse aqui é o pulo do gato!
A ideia é identificar quem é o termo geral , acrescentar um no contator e aplicar esse limite!
Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa série
Aí o termo geral é
Fazendo temos
Tranquilo até aqui?
Agora vamos calcular a razão
Tudo bem até aqui? Bora pro limite!
Passo 3
Jogando tudo no limite temos
Temos que , então o limite
No infinito tem o mesmo comportamento que , então podemos dispensar aquele
Aí nosso raio fica
Espero ter ajudado! Até próxima!
Resposta
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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln n