UFMG – Cálculo 2 – 2ª Lista de Exercícios – Questão 2-Parte 2
A função pode ser escrita como série de potências com raio de convergência infinito. Ache a série de potências desta função em torno de 0.
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!
A função cosseno pode ser escrita como série de potências, mas como assim?
Na verdade, qualquer função pode! É a série de Maclaurin
E esse aqui é o pulo do gato!
Precisamos achar uma forma fechada para a n-ésima derivada da função no ponto e jogar ali! Essa será nossa série de potências!
Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar pegando a função e derivando repetidas vezes (aplicando em zero depois) para ver algum padrão
Tranquilo até aqui?
Repara que na quarta derivada a gente retorna ao cosseno, indicando um padrão a partir daí! Então primeiro passo concluído: padrão!
Tudo bem até aqui?
Todo termo ímpar é zero, assim
Beleza?
Passo 3
Mas e agora? Podemos montar nossa série!
Só temos termos pares então
Ufa! Terminamos!
Espero ter ajudado! Até próxima!