UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2022.2 - 2ª Lista, Questão 15a
Definimos as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico por:
e
Calcule suas séries de Taylor em torno de .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular as séries de Taylor em torno de zero do seno e cosseno hiperbólicos.
Para isso, a questão nos dá as seguintes informações:
E
Para podermos resolver, temos que ter em mente que:
Dessa forma, devemos substituir esse dado em cada uma das funções hiperbólicas e fazer algumas manipulações algébricas para chegarmos no resultado final!
E aí? Bora lá??!!
😉
Passo 2
Assim, fazendo a substituição primeiramente na função , temos:
Colocando o termo em evidência e tirando o para fora do somatório (porque é uma constante), temos:
Note que se for um número par, então estaremos somando zeros.
Dessa forma, para simplificar isso, temos que de tal forma que o somatório fica:
Colocando a constante para fora, podemos encontrar a série de Taylor da função em torno de zero:
Passo 3
De forma análoga, para o , temos:
Colocando o termo em evidência e tirando o para fora do somatório (porque é uma constante), temos:
Note que se for um número ímpar, então estaremos somando zeros.
Dessa forma, para simplificar isso, temos que de tal forma que o somatório fica:
Colocando a constante para fora, podemos encontrar a série de Taylor da função em torno de zero:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
