Exercícios Resolvidos de Introdução ao MHS

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Enunciado

Um oscilador harmônico simples pode ser descrito pela seguinte equação diferencial: d 2 x d t 2 + k m x = 0 . Considere as seguintes equações abaixo, onde A, ω e β são constantes, e verifique se elas descrevem um movimento MHS.

a ) x = A   s e n ( ω t   + β )

b) x = A ω t 2 +   β

c) A   e i ( ω t +   β )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se

a ) x = A   s e n ( ω t   + β )

b) x = A ω t 2 +   β

c) A   e i ( ω t +   β )

descrevem um movimento MHS

Vamos calcular a segunda derivada temporal dessas funções e verificar se elas atendem a equação d 2 x d t 2 + k m x = 0 . Então vamos lá!

Passo 2

Calculando a segunda derivada da função:

x = A   s e n ( ω t   + β )

Então,

d 2 x d t 2 = d d t ( A   ω   c o s ( ω t   + β ) ) = - A   ω 2   s e n ( ω t   + β ) .

Temos então que:

d 2 x d t 2 = - A   ω 2   s e n ( ω t   + β ) = - ω 2   x

Assim,

d 2 x d t 2 + ω 2   x = 0

Sendo, ω 2 = k m . Então temos que a função descreve o MHS.

Passo 3

Calculando a segunda derivada da função:

x = A ω t 2 +   β

Então,

d 2 x d t 2 = d d t ( 2   A   ω   t ) = 2   A   ω .

Temos então que:

d 2 x d t 2 = 2   A   ω

Assim,

d 2 x d t 2 - 2   A   ω = 0

Então temos que a função não descreve o MHS.

Passo 4

Calculando a segunda derivada da função:

x = A   e i ( ω t +   β )

Então,

d 2 x d t 2 = d d t ( i   A   ω   e i ( ω t +   β ) ) = - A   ω 2   e i ( ω t +   β ) .

Temos então que:

d 2 x d t 2 = - A   ω 2   e i ( ω t +   β ) = - ω 2   x

Assim,

d 2 x d t 2 + ω 2   x = 0

Sendo, ω 2 = k m . Então temos que a função descreve o MHS.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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