UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Oscilações e Ondas, Listas de Ondas - UFMG - Problemas sobre Oscilador Harmônico, Questão 30
Um pêndulo constituído de uma esfera presa a um fio de comprimento é solto de uma posição , a partir do repouso. Considerando a aproximação para a validade do movimento harmônico simples mostre que a velocidade do pêndulo ao passar por pode ser calculada por . Usando a conservação da energia encontre essa velocidade exatamente para um ângulo qualquer (não somente para pequeno ângulo!!) e mostre que seu resultado está de acordo com o resultado do item quando for pequeno. Encontre a diferença entre o valor aproximado e o valor exato para e . Encontre a diferença ente o valor aproximado e o valor exato para e . Compare os resultados dos itens e . O que você conclui?
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Temos aqui um pêndulo formado por uma esfera presa à um fio de comprimento que parte de uma posição angular a partir do repouso. Queremos usar esta montagem para primeiro mostrar que
Considerando a aproximação para a validade do movimento harmônico simples mostre que a velocidade do pêndulo ao passar por pode ser calculada por .
e que isso pode ser generalizado
Usando a conservação da energia para encontrar essa velocidade exatamente para um ângulo qualquer (não somente para pequeno ângulo!!) mostrando que seu resultado está de acordo com o resultado do item quando for pequeno.
Por último iremos verificar a validade da aproximação de pequenos ângulos para os casos em que
A diferença entre o valor aproximado e o valor exato para e . A diferença ente o valor aproximado e o valor exato para e .
de forma que possamos
Comparar os resultados dos itens e, então ter uma ideia do que podemos concluir?
O pêndulo simples tem uma montagem bem simples, e a aproximação de pequenos ângulos nos diz que
Vamos tentar fazer isso!
Passo 2
O pêndulo simples é um movimento bidimensional governado em cada direção pelas componentes da tensão do fio e da força peso. Em geral, podemos pensar no momento no pêndulo como uma sessão de uma órbita circular, de forma que a resultante da direção radial atua como uma força central e a componente tangencial atua gerando uma aceleração angular. Vamos nos focar na componente tangencial. Como o fio aponta sempre para o centro, não a componente tangencial da tensão do fio, temos apenas a componente tangencial do peso atuando nesta direção na forma
pela segunda lei de Newton para rotações teremos que
Como a única componente tangencial é a componente do peso que apresentamos, temos que
esta não é a equação do oscilador harmônico! Mas, na aproximação de pequenos ângulos, temos que
de forma que obtemos
que é um MHS! A solução para esta equação diferencial é da forma
em que é o ângulo inicial que deslocamos o ângulo do pêndulo com a vertical, comparando com a equação do massa-mola podemos definir que a frequência natural de oscilação é dada por
de forma que
Vamos usar todas estas informações para obter a nossa velocidade máxima!
Passo 3
Derivando a função posição
temos que a velocidade será dada por
note que a velocidade máxima será obtida quando
Portanto, obtemos que
usando a expressão para temos que
como a velocidade angular e a velocidade tangencial estão relacionadas pela relação
obtemos finalmente que
em módulo, temos que
Beleza! Aí está a primeira alternativa! Vamos analisar isso pela perspectiva energética!
Passo 4
Para o caso de um pêndulo simples temos apenas forças conservativas atuando quando desconsideramos o atrito, desta maneira, temos que
em que é a energia mecânica do sistema
para uma posição angular arbitrária temos que a energia potencial é dada por
e, a energia cinética é dada por
como temos que
temos que
Derivando em relação ao tempo obtemos que
evidenciando termos em comum temos que
Equação que tem duas soluções, a solução trivial de equilíbrio
e, a solução
como vimos anteriormente! Vamos procurar agora a nossa velocidade!
Passo 5
Inicialmente a energia é puramente potencial, e portanto, temos que
quando estamos na posição mais baixa do pêndulo temos a velocidade máxima uma vez que toda energia é cinética
Usando a conservação da energia mecânica, temos que
que é a expressão geral para a velocidade máxima! No limite para ângulos pequenos temos que
de forma que a expressão para a velocidade máxima volta a ser
que é exatamente o que obtivemos através da expressão do MHS! Vamos verificar o quão boa é essa aproximação!
Passo 6
Usando e , temos que na aproximação de ângulos pequenos a velocidade máxima é
e pela expressão geral, temos que
note que a diferença é de
na terceira casa decimal! Usando agora a escolha , temos que
e, pela expressão geral, temos que
a diferença é tal que
é uma diferença muito mais significativa aparecendo no primeiro decimal! Sendo assim, podemos concluir que aumentando o ângulo o erro relativo da aproximação de pequenos ângulos é cada vez mais significativo! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!