UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Oscilações e Ondas, Listas de Ondas - UFMG - Problemas sobre Oscilador Harmônico, Questão 4
Sobre a superfície muito lisa de uma mesa se encontra uma mola, cuja a constante é de . Uma das extremidades da mola está fixada na mesa e na outra está presa um bloco de que também repousa sobre a mesa. Um outro bloco (também de ) desloca sobre a superfície com velocidade de e colide com o bloco preso à mola. Após a colisão, os dois blocos permanecem grudados um no outro e o sistema começa a oscilar. Considerando e no instante da colisão, encontre a equação do movimento harmônico resultante.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O sistema descreve um bloquinho () sobre uma mesa lisa (sem atrito) preso à uma mola com constante elástica dada por
este bloco está paradinho inicialmente até que um segundo bloquinho de mesma massa , que se move com velocidade constante , colide e fica grudado no primeiro bloquinho, de forma que agora o sistema é um oscilador harmônico de massa e velocidade inicial obtida através da conservação do momentum linear do sistema! Vamos ter que obter essa velocidade! O sistema obedece às seguintes condições iniciais
e
ou seja, a oscilação se inicia na origem do sistema de coordenadas! Isso irá nos ajudar a escolher qual solução para a equação diferencial, obtida através da segunda lei de Newton
devemos escolher! Vamos tentar fazer isso!
Passo 2
Primeiramente, vamos obter a nossa velocidade inicial através da conservação do momentum linear, uma vez que iremos precisar desta condição inicial ao resolver a nossa equação diferencial! Inicialmente o momentum linear é dado simplesmente pelo bloquinho em movimento, portanto
após a colisão, os corpos se movem junto de forma que
Pela conservação do momentum, e como o sistema é unidimensional, temos que
de forma que
ou seja, como , temos que a velocidade inicial da oscilação tem como módulo
Vamos montar agora o problema usando a segunda lei de Newton!
Passo 3
As forças atuando sobre o sistema em oscilação são simplesmente
de forma que escalarmente, temos a seguinte equação diferencial
em que usei . Fazendo a definição
temos que o sistema oscila com frequência natural dada por
ou seja, em resumo a nossa equação diferencial é
Vamos resolver essa equação diferencial!
Passo 4
Essa equação diferencial é homogênea de segunda ordem com raízes do polinômio característico complexas, sendo assim, as soluções são dadas por
uma combinação linear de senos e cossenos! Usando a condição inicial
quando
temos que
Portanto, nossa solução é da forma
Para encontrar precisamos aplicar a condição inicial sobre a derivada! Vamos fazer isso!
Passo 5
A derivada de nossa solução é dada por
usando que , e que
temos que em , obtemos
como vimos no passo , temos que portanto, temos que
E a nossa solução é dada por
Como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!