UFSC – 2017.2 – P1 – 2° Chamada
Calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique por quê.
Passo 1
Bom pessoal, vamos fazer cada um dos limites que esse enunciado está nos pedindo um de cada vez, começando pela letra “a”:
Percebemos que se aplicarmos o valor de na expressão, vamos encontrar:
Quando temos uma indeterminação assim, temos podemos e usar a técnica de L’Hospital! Derivamos o numerador e o denominador:
Para derivar isso ai, vamos melhorar a expressão do numerador:
Ficou feio ne? Mas eu tô dizendo que isso é melhor, porque agora temos várias potências de h e potência é uma coisa que a gente sabe derivar. Vamos voltar para a derivada:
Simplificando a expressão:
Agora vamos substituir novamente :
Ou seja, o limite foi encontrado:
Passo 2
Agora que já completamos a primeira, vamos para a letra “b”:
Aqui temos uma fração elevada a , sabe o que isso me lembra? O limite fundamental exponencial, veja aqui:
Vamos colocar o nosso limite nesse formato:
Dessa forma, olhando para a fração dentro da expressão e comparando com o limite fundamental, vamos fazer uma conversão de variável, pra poder usar a nossa propriedade:
Então descobrimos que a relação entre e é:
Quando fazemos tender a infinito:
Também estamos fazendo:
Logo, nosso limite original fica da seguinte forma:
O que está diferente do limite fundamental exponencial é esse expoente, mas podemos reescrever como:
Então agora sim, podemos substituir o limite interno por:
Então conseguimos chegar no resultado do limite inicial que gostaríamos:
Passo 3
Você já chegou no último limite que precisamos calcular, vamos acabar com isso:
Vamos começar substituindo o valor de para ver no que chegamos:
Ou seja, como no primeiro limite, vamos usar a técnica de L’Hospital e vamos derivar o numerador e o denominador:
Aplicando novamente o valor do limite:
Ou seja, conseguimos mais uma vez chegar ao limite final: