4. Essa questão está relacionada com a função exponencial x ↦ e^x (definida para todo x ∈ R e suas taxas de variação. Sobre ela se sabe que

lim x→0 (e^x - 1) / x = 1,

(na verdade dentre todas as funções de tipo exponencial x ↦ r^x , cada uma com uma base r > 0 diferente, aquela de base e , ou seja x → e^x , é escolhida exatamente para que o limite acima seja 1).

Agora considere f(x) = e^(2x) e vamos às perguntas:

a) Imagine qualquer a ∈ R fixado e h > 0 e considere x_0 = a, x_1 = a + h e o intervalo [x0, x1] = [a, a + h] . Determine uma expressão para a taxa de variação média de f entre x₀ = a e x_1 = a + h , ou seja

f(a + h) - f(a) / h.

Passo 1

A taxa de variação média da função f ( x ) = e 2 x entre x 0 = a e x 1 = a + h , ou seja, o quociente f ( a + h ) - f ( a ) h , representa a variação média do valor da função por unidade de variação em x dentro do intervalo x 0 , x 1 .

Passo 2

Vamos calcular essa taxa de variação média:

f ( a + h ) - f ( a ) h = e 2 ( a + h ) - e 2 a h

= e 2 a ⋅ e 2 h - e 2 a h

= e 2 a e 2 h - 1 h .

Essa é a expressão para a taxa de variação média da função f ( x ) = e 2 x entre x 0 = a e x 1 = a + h . Ela representa como o valor da função varia em média por unidade de variação em x dentro do intervalo [ a , a + h ] .

Resposta

Essa é a expressão para a taxa de variação média da função f ( x ) = e 2 x entre x 0 = a e x 1 = a + h . Ela representa como o valor da função varia em média por unidade de variação em x dentro do intervalo [ a , a + h ] .

Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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