- Calcule os limites abaixo:
n.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,
Se fizermos a substituição, vamos cair em uma indeterminação do tipo . Quer dizer que não vai dar pra resolver simples assim.
Se a gente olhar bem pra cara dessa função, o que ela nos lembra? Potência com no expoente no numerador e no denominador...
Isso é um pouco parecido com o Limite Fundamental que diz o seguinte:
Okkkkkkkkkk, não é tãããããão parecido assim! Mas você vai ver que é só dar uma mexida na função que conseguimos aplicar!
Então agora você já sabe que quando aparecer uma função com essa cara, pode ser que você precise aplicar o Limite Fundamental.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo essa função! Note que o denominador está diferente do expoente. Então vamos tentar melhorar isso, aplicando produto notável. Para quem não lembra temos que:
Sendo assim, o nosso limite fica assim,
Só que a gente tra modificando essa função com o objetivo de que ela fique mais parecida com o Limite Fundamental, não é isso? E no Limite Fundamental, o denominador é igual ao expoente que aparece no denominador. Como nosso expoente é , a gente quer que no denominador tenha só . E aquele que tá ali atrapalhando, a gente vai separar.
E agora vamos resolver esse limite em separado!
Passo 3
Começando por que é mais fácil
Podemos substituir na função ficamos com,
Vamos para o próximo!
Passo 4
Agora temos,
E é aqui que vamos aplicar o nosso limite fundamental! Mas antes de fazer isso, temos fazer uma mudança de variável para que no limite tenda a zero. Porque? Porque se você olhar o Limite fundamental lá no passo 1, você vai ver que tende a 0.
Vamos chamar
Com isso, temo que se ,
Reescrevendo o limite ficamos com
Melhorou, mas podemos mexer mais!
Passo 5
O que mais a gente pode fazer pra função ficar parecida com o Limite Fundamental? Olha ele aqui:
No numerador, o termo que ta sendo subtraído é 1. Pra ficar com um -1 na nossa função, vamos colocar em evidência. E fica assim:
Opa! Note que podemos escrever assim,
Sendo que,
Vamos para o próximo!
Passo 6
Agora vamos olha de novo nosso Limite Fundamental
E comparar com a expressão que a gente ta calculando
Se você comparar, quem ocupa o lugar do é o . Logo e
Ufa! Calma, que já estamos quase acabando!
Passo 7
Juntando tudo, temos que,
Substituindo,
Além disso, temos que
E substituindo,
Prontinho!