UFSC – Cálculo 1 – Lista 1.10 – Questão C1j
Calcule os limites abaixo
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
A ideia é calcular esse limite aqui
Vamos começar aplicando uma propriedade das exponenciais e logo em seguida dos limites: vamos separar o termo em um produto: e aplicar a regra dos limites
O limite do produto é o produto dos limites
Beleza?
ficamos com dois limites para resolver ao invés de um, mas dois mais simples! Então saímos no lucro! E agora?
Mas calma! Antes vamos relembrar de todos os limites fundamentais que estudamos, assim podemos identificar qual deles o nosso limite mais se aproxima
Estão aqui os limites que você precisa ter na manga para resolver qualquer questão assim:
E aí? E depois? Depois é #partiu #manipulação para deixar o nosso limite com exponencial com a cara de um limite fundamental! Assim vamos conseguir usar os resultados e calcular o nosso limite de boas! E o outro? Nesse vamos usar o limite de divisão de polinômios: é só dividir todos os termos pelo termo de maior expoente!
Então a ideia é usar essas informações para calcular o nosso limite!
Mas relaxa!
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Primeiro vamos olhar para nosso limite
Vamos começar calculando o limite mais à direita:
E lembrar do primeiro limite fundamental daquele quadro em azul do passo anterior
Temos algo parecido, não é? Precisamos manipular um pouquinho para encontrar um resultado bem parecido com nosso limite fundamental...
Vamos começar por um truque sujo: rescrever o como :
Oh! Já está mais próximo do nosso limite fundamental! E agora? Agora vamos fazer uma pequena mudança de variáveis, para ficar ainda mais parecido com o limite fundamental
E substituir no limite. Quando , temos que também:
Beleza? Estamos quase lá!
Agora vamos fazer a mesma coisa que fizemos lá no começo: separar em dois limites!
E aí temos nosso primeiro resultado!
Beleza? Vamos para o cálculo do outro limite?
Passo 3
Tínhamos esses dois limites
No passo anterior descobrimos que , agora precisamos calcular
Beleza? Quando substituímos por infinito, obtemos , ou seja, precisamos manipular um pouco para levantar essa indeterminação!
Mas se você olhar com carinho, temos uma razão de dois polinômios de grau 1, e em limites com razão de polinômios a estratégia é: dividir todos os termos pelo termo de maior expoente e avaliar o limite
Os termos e vão à zero quando , então temos
Daí !
Isso nos leva ao segundo resultado! Agora é só juntar os dois!
Passo 4
Do passo 2:
Agora do passo 3:
E lá do passo 1 o nosso limite original foi dividido nesses dois
Agora é só substituir os resultados
E taí nosso resultado!
Beleza?
Espero ter ajudado!