UFSC – Cálculo 1 – Lista 1.10 – Questão C2a
Calcule os limites abaixo
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá? Precisamos calcular esse limite aqui
O problema é quando você instintivamente substitui o por
Poxa vida! Encontramos uma indeterminação!
Sabemos também que quando temos algo do tipo ou como resultado de um limite temos uma opção: manipulação!
Então a ideia é manipular essa expressão para levantar a indeterminação e assim poder avaliar novamente o limite!
Mas relaxa!
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Primeiro vamos olhar para o limite novamente, mas agora com carinho
Tá vendo que tem uma raiz no numerador? Pois é! É ela que nos deu a pista do que fazer: racionalização!
Isso mesmo! Racionalização não serve só para tirar do denominador a raiz, serve para levantar indeterminações também!
Então é isso que vamos fazer: racionalizar o numerador! Para isso vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado dessa raiz:
Em cima vamos ter a diferença entre quadrados
No nosso caso , e embaixo vamos deixar como está (por enquanto)
Outra dica: faz uma manipulação de cada vez, não vai multiplicando tudo por todo mundo, vai que você perde uma simplificação!
voltando ao nosso limite
Resolvendo o numerador:
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Agora vamos olhar novamente nosso limite
Se apenas substituirmos , vamos ainda ter , isso porque ainda não simplificamos nada! Apenas racionalizamos! E as vezes só isso não é suficiente!
Tudo bem até aqui? Mas dá uma olhada com mais carinho ainda o denominador
Não é uma diferença entre quadrados? Então podemos rescrever como
Não é mesmo? Será que assim não vamos simplificar? Vamos sim! Saca só:
agora sim! Conseguimos simplificar o que deixava aquela indeterminação! Bora avaliar esse limite de novo
E taí nosso resultado!
Beleza?
Espero ter ajudado!