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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

UFJF, Sem Campus, Cálculo 1, AV3 - 2018.2, Questão 1

A sabendo que a , b são números reais não nulos. Sabendo que:

l i m x → 0 e a x - c o s ( x ) x 2 + b x = 1 2

Podemos afirmar:

  1. a = 2 b
  2. b = 2 a
  3. a = b
  4. a = 4 b
  5. b = 4 b

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é descobrir qual a relação entre as constantes a , b . E para isso, é informado que

l i m x → 0 e a x - c o s ( x ) x 2 + b x = 1 2

Como acham que devemos prosseguir? Isso mesmo, vamos resolver esse limite!

Se liga só, se substituirmos os valore de x pelo valor que queremos calcular o limite, zero ,chegamos em uma indeterminação da forma 0 0 . Ou seja, podemos usar a regra de L´hopital para resolver esse limite. Ela diz que:

l i m x → a f ( x ) g ( x ) = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x ) se f ( a ) g ( a ) = 0 0   o u   ∞ ∞

Vamos usar esse resultado!!!

Derivando o numerador e denominador temos:

l i m x → 0 e a x - c o s ( x ) x 2 + b x = l i m x → 0 a e a x + s i n ( x ) 2 x + b

= a e a 0 + s i n ( 0 ) 2 * 0 + b

= a b

Ou seja, chegamos a conclusão que

l i m x → 0 e a x - c o s ( x ) x 2 + b x = a b

Mas o enunciado diz que

l i m x → 0 e a x - c o s ( x ) x 2 + b x = 1 / 2

Logo

a b = 1 2

⇒ b = 2 a

Que é a resposta presente na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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