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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

O valor de lim ⁡ x → 0 ⁡ ( 1 + sen ⁡ 3 x ) 1 sen ⁡ 2 x é:

  1. 1
  2. e²
  3. e³
  4. e 2 3
  5. e 3 2

Passo 1

Nesse exercício vamos usar dois limites fundamentais, o trigonométrico e o exponencial. Primeiro, usaremos o limite fundamental trigonométrico pra sumir com os senos da expressão do limite e obter uma expressão mais fácil de aplicar o limite fundamental exponencial. Vamos nessa. Observe que se fizermos a seguinte modificação

lim ⁡ x → 0 ⁡ ( 1 + 3 x sen ⁡ 3 x ( 3 x ) ) 2 x 2 x sen ⁡ 2 x

Podemos usar o limite fundamental trigonométrico em

3 xsen ⁡ 3 x 3 x

E em

2 x 2 x sen ⁡ 2 x

E obter

lim ⁡ x → 0 ⁡ ( 1 + 3 x ) 1 2 x

Passo 2

Agora dá pra aplicar o limite fundamental exponencial. Só precisamos fazer a seguinte substituição

u = 3 x

1 2 x = 3 2 u

x → 0 ; u → 0

e voilá! Nosso limite vai ficar assim

lim ⁡ u → 0 ⁡ ( 1 + u ) 1 u ∙ 3 2

Sabemos que

lim ⁡ u → 0 ⁡ ( 1 + u ) 1 u = e

Logo

lim ⁡ u → 0 ⁡ ( 1 + u ) 1 u ∙ 3 2 = e 3 2

Resposta

e. e 3 2

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