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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

A2 T11 T12

Assinale abaixo a transformação linear cujo núcleo é dado pelo conjunto-solução de x - y = 0 e cuja imagem é dada pelo conjunto solução de x + y = 0 .

a   T x , y = - x - y , x + y

b   T x , y = - x + y , x + y

c   T x , y = x + y , - x - y

d   T x , y = x - y , - x + y

Passo 1

Bom, a imagem da nossa T L tem que ser o conjunto solução de x + y = 0 . Então vamos descobrir qual conjunto é esse:

x + y = 0 ⇒ x = - y

- y , y = y - 1,1

Já o núcleo é dado pelo seguinte:

x - y = 0 ⇒ x = y

y , y = y 1,1

Agora o que precisamos fazer é testar letra por letra e ver qual nos dá esse resultado!

Passo 2

a   T x , y = - x - y , x + y

Imagem:

- x - y , x + y = x - 1,1 + y - 1,1 = t - 1,1

Beleza, a imagem ta certinha, agora o núcleo.

Núcleo:

- x - y , x + y = 0

- x - y = 0 ⇒ x = - y x + y = 0 ⇒ x = - y

Opa, o núcleo dessa T L é o conjunto solução de x = - y , mas o que o enunciado pede é o de x = y . Então essa tá errada.

Passo 3

b   T x , y = - x + y , x + y

Imagem:

- x + y , x + y = x - 1,1 + y 1,1

A imagem já deu errada então nem precisamos ver o núcleo.

Passo 4

c   T x , y = x + y , - x - y

Imagem:

x + y , - x - y = x 1 , - 1 + y 1 , - 1 = t 1 , - 1 = s - 1,1

A imagem deu certo, agora o núcleo.

Núcleo:

x + y , - x - y = 0

x + y = 0 ⇒ x = - y - x - y = 0 ⇒ x = - y

O núcleo dessa T L é o conjunto solução de x = - y , mas precisamos que seja x = y . Então essa tá errada também.

Passo 5

d   T x , y = x - y , - x + y

Imagem:

x - y , - x + y = x 1 , - 1 + y - 1,1 = t - 1,1

A imagem deu certo, vamos ver o núcleo.

Núcleo:

x - y , - x + y = 0

x - y = 0 ⇒ x = y - x + y = 0 ⇒ x = y

Ótimo, esse deu exatamente o que queríamos! Então essa é a certa (meio óbvio já que só tinha sobrado ela haha).

Resposta

Letra d

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