USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 12
12) Seja uma transformação linear tal que:
e .
Sabe-se que:
Se e forem tais que , então será igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Faaaaala galera, tudo bem?
Nessa questão temos uma transformação linear com domínio e contradomínio em . Não é dada a definição de , mas é dito que:
Logo,
Além disso, também é falado que:
O objetivo é determinar quanto vale dado que .
Show? beleza!
O problema novamente é que não temos a definição de . Eaí, o que podemos fazer?
Nessas questões que não temos a definição da transformação linear, basicamente temos dois caminhos possíveis a seguir: ou tentamos encontrar uma matriz que represente a transformação , ou tentamos calcular o que precisamos usando os dados e a linearidade de .
Massa! Então, vamos tentar resolver usando a linearidade.
Passo 2
Queremos calcular . Então, vamos tentar escrever como uma combinação linear dos vetores cujas transformações foram dadas no enunciado, beleza?
Podemos montar o seguinte sistema:
Como no enunciado foi dado uma relação entre duas matrizes (que pareceu meio jogado inclusive), vamos ficar espertos e já tentar escrever esse sistema na forma matricial.
O nosso objetivo é descobrir quem são as constantes e em função de e . Para isso, devemos multiplicar a matriz:
Pela sua inversa dos dois lados.
Aaaaaah, agora a relação de matrizes do enunciado fez sentido né? Haha.
Hahaha! É que a inversa de é justamente:
Que, pelo enunciado, vale:
Massa, substituindo na equação matricial, vamos ter que:
Logo:
Ou seja:
Excelenteee!!
Passo 3
Daí, agora que já conhecemos esses coeficientes, podemos usar que:
Pela linearidade de , temos:
Como:
Vem que:
Mas, como vimos no passo , temos que:
Substituindo, temos:
Só que, pelo enunciado:
Aí agora é só igualar e partir pro abraço, porque vamos ter:
Então:
Prontinhoo!! Matamos mais uma questãozinha. Conseguiram entender bem essa?
É isso então, obrigado pela atenção galerinha 😊
Resposta
Letra C: .