PUCRIO, G2-2019.1
Considere os vetores de , cujas coordenadas na base canônica são:
E as matrizes:
- Determine se é uma base de .
- Determine se é uma base de
- Determine o posto de .
- Determine o posto de .
- Considere os vetores
E o espaço gerado por estes vetores
Determine uma base e a dimensão de .
Passo 1
Belezuras galera, na letra (a) queremos descobrir se o conjunto é uma base de . E pra esse conjunto ser uma base, precisamos respeitar duas condições:
- Os vetores precisam gerar o espaço
- Os vetores precisam ser Linearmente Independentes
Show de bola, isso quer dizer que precisamos ter vetores linearmente independentes para ser uma base de . Como o conjunto já possui três vetores, só precisamos verificar se eles são L.I, bora lá então.
Passo 2
Saca só, pra verificar se eles são L.I, podemos colocar os vetores nas colunas de uma matriz e escalonar, se alguma linha zerar, quer dizer que os vetores são linearmente dependentes, caso contrário, os vetores são L.I. Então montando uma matriz com os vetores, temos:
Que é EXATAMENTE IGUAL A MATRIZ .
Logo escalonando essa matriz, temos;
E como nenhuma linha zerou, temos que os três vetores são linearmente independentes, logo eles formam uma base para .
Passo 3
Agora na letra (b) queremos determinar se também é uma base de . Pra isso podemos usar o mesmo processo do item (a), só que agora com vetor :
E por pura coincidência, essa matriz é igual a matriz , e além de tudo, elas possuem as duas últimas linhas iguais, tal que:
E voilá, temos que a última linha zerou, logo os vetores são linearmente dependentes o que impossibilita eles de serem uma base.
Passo 4
Na letra (c) queremos descobrir o posto da matriz :
E o posto de uma matriz, na verdade ao número de linhas linearmente independentes de uma matriz. Portanto se a gente descobrir quantas linhas independentes a gente tem, vamos descobrir o posto da matriz. Bora lá escalonar ela então:
E nenhuma linha zerou, isso quer dizer que temos linhas independentes, e portanto:
Passo 5
Da mesma maneira na letra (d), para encontrar o posto, fazemos:
Tal que a matriz só possui linhas independentes, logo:
Passo 6
E por último, na letra (e) queremos determinar uma base de e sua dimensão, dado que:
Então se a gente escalonar a matriz formada por esses vetores, vamos obter a base de , e o número de vetores nessa base, vai ser a dimensão no espaço. Então saca só:
O acreditem só, é EXATAMENTE IGUAL a matriz , que a gente acabou de ver que possui apenas linhas independentes. E aqui vai o bizu master dessa questão, é que:
Portanto, vamos ter apenas dois vetores linearmente independentes no conjunto , fazendo com que:
Resposta
- Sim, é uma base
- Não é uma base