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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Lembre que a imagem de uma transformação linear S :   R 3 → R 3 é definida como

i m a g e m S = w ∈ R 3   t a l   q u e   e x i s t e   v ∈ R 3   t a l   q u e   w = S v

a) Considere a transformação linear T :   R 3 → R 3 cuja matriz na base canônica é

T = 1 2 0 1 a c 2 b d

Sabendo que o espaço imagem de T é uma reta, determine os valores de a ,   b ,   c e d .

Passo 1

a) Pela nossa matriz, temos que T i = 1 ,   1 ,   2 ,   T j = 2 ,   a ,   b ,   T k = ( 0 ,   c ,   d ) . A imagem da nossa transformação linear é gerada por esses 3 vetores.

Mas peraí, o enunciado disse que a nossa imagem é uma reta! Então, eles precisam ter a mesma direção!! Por que? Porque uma reta apresenta apenas uma direção, certo?

Então, os 3 vetores devem ser paralelos concorda?? Porque se um deles tiver outra direção, nosso lugar geométrico formado pela imagem não vai ser uma reta.

Então, como eles são paralelos, deve existir s ,   t tal que

2 ,   a ,   b = s . 1 ,   1 ,   2     ( I )

0 ,   c ,   d = t . 1 ,   1 ,   2     ( I I )

Passo 2

De ( I ) , temos o sistema

s = 2 s = a 2 s = b

Então, s = 2 , a = 2 , b = 4 .

De ( I I ) , temos o sistema

t = 0 t = c 2 t = d

Então, t = 0 , c = 0 , d = 0 .

Logo, T j = 2 ,   a ,   b = ( 2 ,   2 ,   4 ) e T k = 0 ,   c ,   d = ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Podemos escrever nossa matriz assim:

T = 1 2 0 1 2 0 2 4 0

Resposta

a) a = 2 ,   b = 4 ,   c = 0 ,   d = 0 .

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