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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

A2 T12

Se M 2 × 2 é o espaço vetorial das matrizes 2 × 2 , definimos T : M 2 × 2 → M 2 × 2 através de T X = A X - X B onde A = 1 0 1 0 e B = 0 1 0 1 . Então podemos afirmar que a dimensão da imagem de T é:

( a )   1

b 3

c   2

d   4

Passo 1

Vamos ver o que essa transformação exatamente faz! Pra isso é só definirmos uma matriz genérica do M 2 × 2 :

X = a b c d

T X = 1 0 1 0 a b c d - a b c d 0 1 0 1 = a b a b - 0 a + b 0 c + d = a - a a b - c - d

Agora vamos descobrir quantas dimensões tem esse negócio:

a - a a b - c - d = a 1 - 1 1 0 + b 0 0 0 1 + c 0 0 0 - 1 + d 0 0 0 - 1

Repare que apesar de termos 4 termos, 0 0 0 1 ,   0 0 0 - 1   e 0 0 0 - 1 são L D , ou seja, só formam uma dimensão! Então no final das contas podemos escrever:

I m T = a 1 - 1 1 0 + t 0 0 0 1 ,   t = b - c - d

Ou seja, a imagem tem apenas duas dimensões.

Resposta

Letra c  

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