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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

UFRJ; Provas Antigas; Álgebra Linear; P2 2022.1; Questão 8

Considere uma transformação linear T : R 40 → R 24 . A dimensão do núcleo de T não pode ser:

  1. 34
  2. 13
  3. 40
  4. 16

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Essa questão é mais tranquila. É uma aplicação direta do teorema do núcleo e da imagem

Lembram do Teorema? Vamos revisar. Ele diz o seguinte

Seja T : U → V , então

d i m ( U )   =   d i m ( I m ( T ) ) + d i m ( k e r ( T ) )

Lembraram? Boa!

Bem, agora que revisamos o teorema, podemos descobrir qual os possíveis valores para o núcleo de T , onde T : R 40 → R 24

Passo 2

Temos a transformação T : R 40 → R 24 . Vamos pensar, qual é o maior valor possível para a dimensão da imagem de T ? Seria quando T for sobrejetiva, né? Já que sua imagem teria dimensão 24 . Aplicando o Teorema do núcleo e da imagem nessas condições, temos:

40 = 24 + d i m ( k e r ( T ) )

⇒ d i m ( k e r ( T ) ) = 16

Como a dimensão da imagem é no máximo 24, a dimensão do núcleo será de no mínimo 16. Então ao olharmos as alternativas, vemos que 13 não é uma dimensão possível para o núcleo de T

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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