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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Considere D 2 : P 3 → P 3 definida por D 2 f = f ' ' (duas derivadas). Determine se fazem parte do N u c D 2 :

a   3 x 3 + x 2

b   3 x - 4

c   x 2

d   5

Passo 1

Primeiro, qual o domínio e o contra domínio dessa T L ? Ela pega vetores do P 3 e leva em vetores do P 3 . Logo, ambos são o P 3 . Lembrando que P 3 é o espaço dos polinômios de terceiro grau ou menor.

Deixei o “ou menor” em negrito porque temos que ter cuidado pra não eliminarmos as letras b , c e d só porque não são de terceiro grau. Elas fazem parte de P 3 !!

Dito, isso, vamos testar letra por letra.

Passo 2

a Aplicando a T L ao polinômio dado:

D 2 3 x 3 + x 2 = 3 x 3 + x 2 ' ' = 9 x 2 + 2 x ' = 18 x + 2

Bom, 18 x + 2 claramente não é igual ao elemento nulo do contra domínio: ( 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 0 ) .

Logo, ele não faz parte do N u c ( D 2 ) .

Passo 3

b Aplicando a T L :

D 2 3 x - 4 = 3 x - 4 ' ' = 3 ' = 0

Opa, a transformação levou o polinômio 3 x - 4 em 0 . Logo, ele faz parte do N u c D 2 .

Passo 4

c Aplicando a T L ao polinômio dado:

D 2 x 2 = x 2 ' ' = 2 x ' = 2

Novamente 2 ≠ 0 . Logo, x 2 não faz parte do N u c ( D 2 ) .

Passo 5

d Por último:

D 2 5 = 5 ' ' = 0 ' = 0

Como D 2 5 = 0 , ele faz parte do N u c ( D 2 ) .

Resposta

b e d fazem parte do N u c ( D 2 ) .

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