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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

PUCRIO, G2-2019.1

(Nesta questão, todos os vetores estão escritos na base canônica). Considere o plano vetorial

π : v ∈ R 3 ,   v ε = x ,   y ,   z : x - y + z = 0

E a transformação linear T que verifica

T v = 2 v ,     para todo vetor   v   de   π

E

T 1 ,   1 ,   1 = 1 ,   1 ,   0

  1. Determine a matriz T da transformação linear T na base canônica.
  2. Determine uma base da imagem de T (denotada im T ). Lembre que

    3. im T = u ∈ R 3   tal que existe  w   ∈ R 3   tal que   T w = u

  3. Determine uma base do núcleo de T (denotado nuc T ). Lembre que

    4. nuc T = u ∈ R 3   tal que   T u = 0

  4. Determine o conjunto de todos os vetores v de R 3 que verificam

T v = 1 ,   0 ,   - 1

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, na letra (a), queremos determinar a matriz T , dado que:

π : v ∈ R 3 ,   v ε = x ,   y ,   z : x - y + z = 0

E a transformação linear T que verifica

T v = 2 v ,     para todo vetor   v   de   π

Show de bola, quer dizer então que a transformação T pega um vetor do plano π e dobra ele de tamanho. Então bora descobrir os vetores da base do plano, pra ver como que fica isso. Isolando o x no plano, temos:

x = y - z

E separando as variáveis:

x ,   y ,   z = y - z ,   y ,   z

x ,   y ,   z = y ,   y ,   0 + - z ,   0 ,   z

x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   0 y + - 1 ,   0 ,   1 z

Portanto, os vetores da base do plano π são:

π = 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1

Tal que:

T v = 2 v

T 1 1 0 = 2 1 1 0 = 2 2 0

T - 1 0 1 = 2 - 1 0 1 = - 2 0 2

Passo 2

E agora que vem a malandragem, porque enunciado também disse pra gente que:

T 1 1 1 = 1 1 0

Show de bola, então a gente pode pegar todas as transformações que a gente descobriu e juntar num produto de matrizes, desse jeito:

T 1 1 0 = 2 2 0 ,     T - 1 0 1 = - 2 0 2 ,     T 1 1 1 = 1 1 0

T 1 1 0 - 1 0 1 1 1 1 = 2 2 0 - 2 0 2 1 1 0

T 1 - 1 1 1 0 1 0 1 1 = 2 - 2 1 2 0 1 0 2 0

Isso quer dizer que passando a matriz como uma inversa, para o outro lado, temos que:

T = 2 - 2 1 2 0 1 0 2 0 1 - 1 1 1 0 1 0 1 1 - 1

Passo 3

Show de bolinhas, então agora bora inverter essa matriz aí, que a gente vai conseguir descobrir a matriz T , saca só:

1 - 1 1 1 0 1 0 1 1 - 1 ⇒ 1 - 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 - 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒   L 2 = L 2 - L 1   = 1 - 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

1 - 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1 ⇒       L 3 = L 3 - L 2 = 1 - 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1

1 - 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 ⇒   L 1 = L 1 + L 2       = 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 - 1 1 0 1 - 1 1

1 - 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 ⇒   L 1 = L 1 - L 3       = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 2 - 1 - 1 1 0 1 - 1 1

Iradoso, então nossa matriz inversa é:

1 - 1 1 1 0 1 0 1 1 - 1 = - 1 2 - 1 - 1 1 0 1 - 1 1

Portanto, nossa matriz T é:

T = 2 - 2 1 2 0 1 0 2 0 1 - 1 1 1 0 1 0 1 1 - 1

T = 2 - 2 1 2 0 1 0 2 0 - 1 2 - 1 - 1 1 0 1 - 1 1

T = 0 - 1 1 2 - 1 3 2 0 2

Passo 4

Belezoca galera e agora na letra (b), queremos uma base da imagem de T , e essa imagem é dada pelas colunas linearmente independentes. Então bora escalonar a matriz T , e ver qual dessas colunas é L.I:

0 - 1 1 2 - 1 3 2 0 2 ⇒   L 2 = L 2 - L 3   = 0 - 1 1 0 - 1 1 2 0 2

Isso quer dizer que temos apenas duas colunas L.Is, que podem ser dadas pelas duas primeras colunas:

im T = 0,2 ,   2 ,   - 1 ,   - 1 ,   0

Passo 5

Já o núcleo dessa matriz, é a solução do sistema homogêneo, isto é:

T u → = 0 →

O núcleo será todos os vetores u → que fazem isso acontecer. Então temos que:

0 - 1 1 2 - 1 3 2 0 2 ⇒   L 2 = L 2 - L 3   = 0 - 1 1 0 - 1 1 2 0 2

0 - 1 1 0 - 1 1 2 0 2 ⇒   L 2 = L 2 - L 1   = 0 - 1 1 0 0 0 2 0 2

Então, da primeira linha tiramos que:

- y + z = 0

y = z

E da última linha, temos:

2 x + 2 z = 0

x = - z

Logo;

u → = x ,   y ,   z = - z ,   z ,   z

u → = - 1 ,   1 ,   1 z

Portanto nosso núcleo é:

nuc T = - 1 ,   1 ,   1

Passo 6

Agora na letra (d), queremos o conjunto solução de:

T v = 1 ,   0 ,   - 1

Logo:

0 - 1 1 2 - 1 3 2 0 2 x   y   z = 1 0 - 1

Então podemos montar a seguinte matriz:

0 - 1 1 2 - 1 3 2 0 2 1 0 - 1

Escalonando temos:

0 - 1 1 2 - 1 3 2 0 2 1 0 - 1 ⇒   L 2 = L 2 - L 3   = 0 - 1 1 0 - 1 1 2 0 2 1 1 - 1

0 - 1 1 0 - 1 1 2 0 2 1 1 - 1 ⇒   L 2 = L 2 - L 1   = 0 - 1 1 0 0 0 2 0 2 1 0 - 1

Logo, da primeira linha, tiramos que:

- y + z = 1

y = 1 - z

E na última linha, temos;

2 x + 2 z = - 1

x = - z - 1 2

Logo a solução do sistema é:

v → = x ,   y ,   z = - z - 1 2 ,   z - 1 ,   z

v → = - 1 2 ,   - 1 ,   0 + - 1 ,   1 ,   1 z

v → = - 1 2 ,   - 1 ,   0 + - 1 ,   1 ,   1

Resposta

  1. T = 0 - 1 1 2 - 1 3 2 0 2
  2. im T = 0,2 ,   2 ,   - 1 ,   - 1 ,   0
  3. nuc T = - 1 ,   1 ,   1
  4. v → = - 1 2 ,   - 1 ,   0 + - 1 ,   1 ,   1

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