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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.2, Questão 6

Sabemos que, na transformação linear T : R 2 → R 2 , o núcleo é a reta 2 x + 3 y = 0 e a imagem é a reta 3 x + 6 y = 0 . Qual das transformações poderia ser T ?

(a) T x , y = ( - 8 x + 12 y , - 4 x + 6 y )

(b)   T x , y = ( - 8 x + 12 y , 4 x + 6 y )

(c)   T x , y = ( - 8 x - 12 y , - 4 x + 6 y )

(d)   T x , y = ( - 8 x - 12 y , 4 x + 6 y )

Passo 1

Bom, o jeito mais fácil de ver isso é ver a imagem. Ela deve ser a reta 3 x + 6 y = 0 , ou seja, vai ter dimensão 1 e a base será β = { - 2,1 } , pois esse é o vetor que gera a reta:

3 x + 6 y = 0 ⟹ x = - 2 y

x , y = - 2,1 y

a )   - 8 x + 12 y , - 4 x + 6 y = x - 8 , - 4 + y ( 12,6 )

Nessa situação, eles são multiplos entre si, ou seja, é uma imagem de dimensão 1, mas não são multiplos de - 2,1 . Ou seja, essa imagem é uma reta, mas não a que queremos, 3 x + 6 y = 0 .

b)   - 8 x + 12 y , 4 x + 6 y = x - 8,4 + y ( 12,6 )

Esses vetores não são multiplos entre si, logo, formam um espaço de dimensão 2 e não 1, como queríamos!

c) - 8 x - 12 y , - 4 x + 6 y = x - 8 , - 4 + y ( - 12,6 )

De novo não são múltiplos!

d) - 8 x - 12 y , 4 x + 6 y = x - 8,4 + y ( - 12,6 )

Opa, aqui deu certo! São ambos múltiplos de - 2,1 ! Então essa deve ser a resposta, mas só pra confirmar, vamos ver o núcleo:

- 8 x - 12 y = 0 4 x + 6 y = 0

Tenho então que y = - 2 x 3 o mesmo que 2 x + 3 y = 0 !! Ou seja, tudo como eu queria!!

Resposta

(d)

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