Considere dois vetores não nulos de representados pelas matrizes-coluna u e v, e seja .
I –
II –
(a) I é falsa e II é falsa.
(b) I é falsa e II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é falsa.
(d) I é verdadeira e II é verdadeira.
Passo 1
Vamos começar escrevendo nossos vetores u e v do :
Fazendo o produto:
A afirmativa I fala sobre a dimensão da imagem de A, então vamos calcular isso.
Lembra que a imagem de A é o espaço gerado pelas colunas??
Pra achar a dimensão da imagem, vamos começar escalonando a matriz A.
Vamos fazer:
Fazendo isso, note que a linha n vai zerar!
O mesmo vai acontecer para as linhas antes dela no processo do escalonamento.
Isso significa que no final, só vamos ter uma linha não nula. Logo, a dimensão da imagem vai ser igual a 1 e a afirmação I é verdadeira.
Passo 2
Vamos lembrar do Teorema Núcleo-Imagem para matrizes.
Se temos uma matriz A , então:
Vimos no passo anterior que:
Logo:
E a afirmação II é falsa.
Resposta
(c) I é verdadeira e II é falsa.