Seja uma transformação linear, onde é um espaço vetorial de dimensão finita. Considere as seguintes aformações:
- Se é linearmente dependente, então é linearmente dependente.
- Se é linearmente dependente, então é linearmente dependente.
Então:
é verdadeira e é falsa
é falsa e é verdadeira
ambas são falsas
ambas são verdadeiras
Passo 1
Afirmativa :
Essa é verdadeira! Pensa comigo, se esses vetores são , um deles pode ser escrito como dos outros né? Digamos que:
Se aplicarmos dos dois lados:
Aplicando a linearidade:
Logo, a gente vai ter que também é 😉
Afirmativa :
Essa é falsa pelo que falamos lá em cima. Você pode ter alguma que leve um vetor no zero! Nesse caso, ela diminuiria a dimensão do conjunto. Então mesmo que tivéssemos , se algum desses fizesse parte do núcleo da , seria !
Logo, é possível ser linearmente dependente e ser linearmente independente.
Resposta
Letra