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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

A2 T11

Seja T : V → V uma transformação linear, onde V é um espaço vetorial de dimensão finita. Considere as seguintes aformações:

  1. Se v 1 , v 2 , ⋯ , v k é linearmente dependente, então T v 1 , T v 2 , ⋯ , T v k é linearmente dependente.
  2. Se T v 1 , T v 2 , ⋯ , T v k é linearmente dependente, então v 1 , v 2 , ⋯ , v k é linearmente dependente.

Então:

( a ) I é verdadeira e I I é falsa

( b ) I é falsa e I I é verdadeira

( c ) ambas são falsas

( d ) ambas são verdadeiras

Passo 1

Afirmativa I :

Essa é verdadeira! Pensa comigo, se esses vetores são L D , um deles pode ser escrito como C L dos outros né? Digamos que:

v k = a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a k - 1 v k - 1

Se aplicarmos T dos dois lados:

T v k = T a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a k - 1 v k - 1

Aplicando a linearidade:

T v k = a 1 T v 1 + a 2 T v 2 + … + a k - 1 T v k - 1

Logo, a gente vai ter que T v 1 , T v 2 , ⋯ , T v k também é L D 😉

Afirmativa I I :

Essa é falsa pelo que falamos lá em cima. Você pode ter alguma T L que leve um vetor no zero! Nesse caso, ela diminuiria a dimensão do conjunto. Então mesmo que tivéssemos v 1 , v 2 , ⋯ , v k   L I , se algum desses fizesse parte do núcleo da T L , T v 1 , T v 2 , ⋯ , T v k seria L D !

Logo, é possível T v 1 , T v 2 , ⋯ , T v k ser linearmente dependente e v 1 , v 2 , ⋯ , v k ser linearmente independente.

Resposta

Letra ( a )

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