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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Dado v = x 0 y 0 z 0 ∈ M 3 × 1 fixo, a transformação T : M 3 × 3 ⟶ M 3 × 1 dada por T A = A v é linear. Determine uma base do núcleo de T quando v = 1 0 - 1 .

Passo 1

Para achar uma base para o núcleo, primeiramente, devemos fazer:

T A = A v = 0

Desenvolvendo:

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 1 0 - 1 = 0 ⇒

a 1 - a 3 = 0 ⇒ a 1 = a 3 a 4 - a 6 = 0 ⇒ a 4 = a 6 a 7 - a 9 = 0 ⇒ a 7 = a 9

Substituindo num elemento genérico do domínio temos:

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 = a 1 a 2 a 1 a 4 a 5 a 4 a 7 a 8 a 7 =

= a 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 + a 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 + a 4 0 0 0 1 0 1 0 0 0

+ a 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 + a 7 0 0 0 0 0 0 1 0 1 + a 8 0 0 0 0 0 0 0 1 0

E assim uma possível base para o núcleo é:

β = 1 0 1 0 0 0 0 0 0 ,   0 1 0 0 0 0 0 0 0 ,   0 0 0 1 0 1 0 0 0 ,   0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,   0 0 0 0 0 0 1 0 1 ,   0 0 0 0 0 0 0 1 0

Resposta

Base para o núcleo: β = 1 0 1 0 0 0 0 0 0 ,   0 1 0 0 0 0 0 0 0 ,   0 0 0 1 0 1 0 0 0 ,   0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,   0 0 0 0 0 0 1 0 1 ,   0 0 0 0 0 0 0 1 0

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