USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 14
14) Sejam um espaço vetorial não nulo de dimensão finita e uma transformação linear tal que . Assinale a alternativa correta:
a) Vale necessariamente que e
b) vale necessariamente que ;
c) vale necessariamente que
d) é possível que ;
e) vale necessariamente que
Passo 1
Faaala galera, tudo certinho com vocês?
Nessa questão temos uma transformação linear , com domínio e contradomínio em , de modo que:
A partir disso são feitas várias afirmações, então vem comigo que a gente vai analisar cada uma delas com calma!
Pra começar, o que podemos afirmar sobre ?
Bom, tudo o que sabemos sobre é que:
Então, bora pegar um vetor , tal que . Assim:
Assim, bora dizer que:
Só que, como , temos que:
Logo:
Como , teremos:
Ou seja, independente de qual elemento tomarmos do domínio , sempre vale que:
Bem legal essa implicação né, galera?
Passo 2
Passo 3
Analisando as alternativas, outra afirmação recorrente é se ou . Bora dar uma investigada!
Se , significa que para qualquer elemento , temos:
Se isso for verdade, o que podemos afirmar sobre a imagem de ?
Bom, se sempre for igual a zero, então:
Mas, como , temos também que:
Consequentemente:
Pelo teorema fundamental da álgebra, teríamos
Só que isso é absurdo, pois no enunciado é falado que é um espaço vetorial não nulo.
Daí, por absurdo nós podemos concluir que, necessariamente:
Eaí, conseguiu pegar a ideia? O bizu é sempre pensar nas dimensões desses espaços 😊
Passo 4
Na letra d é falado que é possível que . Será que é verdade?
Bom, vamos pensar novamente nas informações que temos:
Daí, pelo teorema fundamental da álgebra:
Isso significa que a dimensão de é um número par. Por isso, não é possível termos . Sacaram?
Passo 5
Pra finalizar, na letra e) é falado que vale, necessariamente:
Vamos supor que essa afirmação seja verdadeira. Então, novamente usando a ideia de dimensão, teríamos:
Só que, como , temos que
Logo:
Substituindo, temos:
Mas, como vimos no passo anterior, pelo teorema fundamental da álgebra vale que:
Ambas as equações só poderiam ser obedecidas se , só que isso implicaria , o que já mostramos ser absurdo.
É por isso que a letra e) também está incorreta!
Boaaa! No final de tudo, vemos que a alternativa correta é a letra a).
Deu pra aprender bastante nessa questão, bora continuar nesse pique que a gente vai destruir qualquer questão de álgebra linear 😉
Resposta
Letra a.