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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

UFRJ; Provas Antigas; Álgebra Linear; P2 2022.1; Questão 5

Seja

T ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( x 1 - x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 , - 2 x 1 + x 2 - 5 x 3 - 2 x 4 , 2 x 1 - x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 )

A dimensão da imagem de T é:

  1. 1
  2. 4
  3. 2
  4. 3

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é simples. Queremos saber a dimensão da transformação T , dada por

T ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( x 1 - x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 , - 2 x 1 + x 2 - 5 x 3 - 2 x 4 , 2 x 1 - x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 )

E ai, como vamos fazer isso?

Podemos ver o que a transformação faz com os vetores da base canônica. Se eles são levados em um conjunto LD, ou LI, e qual a dimensão do espaço gerado desse conjunto.

Passo 2

Vamos começar calculando T ( 1,0 , 0,0 ) . Lembrando que T ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( x 1 - x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 , - 2 x 1 + x 2 - 5 x 3 - 2 x 4 , 2 x 1 - x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 ) Temos que:

T ( 1,0 , 0,0 ) = ( 1 , - 2,2 )

Agora vamos descobrir T ( 0,1 , 0,0 )

T ( 0,1 , 0,0 ) = ( - 1,1 , - 1 )

Calculando T ( 0,0 , 1,0 )

T ( 0,0 , 1,0 ) = ( 2 , - 5,5 )

Calculando T ( 0,0 , 0,1 )

T ( 0,0 , 0,1 ) = ( 2 , - 2,2 )

Prontinho, temos todas as transformações dos elementos da base canônica. Como a transformação é linear, temos que a imagem da transformação será gerada pelo conjunto

{ ( 1 , - 2,2 ) , ( - 1,1 , - 1 ) , ( 2 , - 5,5 ) , ( 2 , - 2,2 ) }

Vamos chamar esse conjunto de S

Passo 3

No passo anterior, descobrimos que a transformação dos vetores canônicos de R 4 resulta nos vetores

S = { ( 1 , - 2,2 ) , ( - 1,1 , - 1 ) , ( 2 , - 5,5 ) , ( 2 , - 2,2 ) }

e que a imagem de T é o espaço gerado por esses vetores. Logo para sabermos a dimensão da imagem só precisamos saber quantos vetores LI tem em S .

Bem, note que

- 2 * ( - 1,1 , - 1 ) = ( 2 , - 2,2 )

Ou seja, ( - 1,1 , - 1 )   e   ( 2 , - 2,2 ) são LD. Já encontramos um vetor LD no nosso conjunto. Será que tem mais?

Podemos observar que

3 * ( 1 , - 2,2 ) + ( - 1,1 , - 1 )   = ( 2 , - 5,5 )

Logo ( 2 , - 5,5 ) é um vetor LD.

Então temos 2 vetores LD em S , e 2 vetores LI. Logo a dimensão do espaço gerado por S é igual a 2

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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