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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Para as transformações abaixo determine a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão:

a   T : R 2 → R 2 ,   T x , y = ( 3 x - y , - 3 x + y )

b   T : R 2 → R 3 ,   T x , y = ( x + y , x , 2 y )

c   T : R 2 → R 2 ,   T x , y = ( x - 2 y , x + y )

d   T : R 3 → R 2 ,   T x , y , z = x + 2 y - z , 2 x - y + z

e   T : R 3 → R 3 ,   T x , y , z = ( x - y - 2 z , - x + 2 y + z , x - 3 z )

f   T : R 3 → R 3 ,   T x , y , z = ( x - 3 y , x - z , z - x )

g   T : P 1 → R 3 ,   T a t + b = ( a , 2 a , a - b )

h   T : M 2 × 2 → R 2 ,   T a b c d = ( a - b , a + b )

Passo 1

Caraca, perderam a linha com essas letras todas né? Tenha coragem que esse tipo só tem dois exercícios então tem que fazer valer haha.

Primeiro vamos lembrar como achar a imagem né. É só “desmembrar” a fórmula da T L lembra? Escrevemos ela em termos de x , y e z .

Obs: É interessante reparar que os vetores da imagem terão sempre o formato do contra domínio da T L ;)

Passo 2

a T x , y = 3 x - y , - 3 x + y = x 3 , - 3 + y - 1,1

Assim,

I m T = 3 , - 3 , - 1,1

Opa, mas ainda não temos uma base né? Nesse caso está fácil de ver que os vetores que achamos são L D . Então, uma base para a imagem poderia ser:

- 1,1

Como a base tem um elemento, a dimensão da imagem é 1 .

Passo 3

b x , y = x + y , x , 2 y = x 1,1 , 0 + y ( 1,0 , 2 )

Logo,

I m T = s p a n 1,1 , 0 , 1,0 , 2

Como os vetores são L I , uma base para a imagem é:

1 1 0 , 1 0 2

A base tem dois elementos, então o posto é 2 .

Passo 4

c   T x , y = x - 2 y , x + y = x 1,1 + y ( - 2,1 )

Dessa forma,

I m T = 1,1 , - 2,1 = R 2

Repare que como o contra domínio é o R 2 , como a imagem é gerada por 2 vetores L I então ela equivale ao próprio R 2 . Temos como base da imagem:

1,1 , - 2,1

Dois elementos na base implicam que dim ⁡ I m T = 2 .

Passo 5

d   T x , y , z = x + 2 y - z , 2 x - y + z = x 1,2 + y 2 , - 1 + z - 1,1

Sendo assim,

I m T = s p a n 1,2 , 2 , - 1 , - 1,1 = R 2

Bom, temos três elementos do R 2 , então eles obviamente não formam uma base. No entanto, dando uma olhada rápida dá pra perceber que são todos L I um a um entre si, por isso, podemos garantir que I m T = R 2 .

Então é só escolher dois vetores quaisquer, que eles serão uma base xD. Vou pegar os dois primeiros:

1 2 , 2 - 1

Logo, a imagem tem dimensão 2 .

Passo 6

e   T x , y , z = x - y - 2 z , - x + 2 y + z , x - 3 z = x 1 , - 1,1 + y - 1,2 , 0 + z - 2,1 , - 3

Então,

I m T = 1 , - 1,1 , - 1,2 , 0 , ( - 2,1 , - 3 )

Opa, e agora? L D ou L I ? Tá mais complicado de ver né? Sem problemas, uma escalonada rápida resolve o problema:

1 - 1 1 - 1 2 0 - 2 1 - 3 → L 2 ← L 2 + L 1 L 3 ← L 3 + 2 L 1 1 - 1 1 0 1 1 0 - 1 - 1 → L 3 ← L 3 + L 2 1 - 1 1 0 1 1 0 0 0

Chegamos à conclusão que são L D . Lembrando que o espaço gerado pelos vetores que obtemos do escalonamento é o mesmo espaço gerado por aqueles três vetores do começo, uma base para a imagem é:

1 - 1 1 , 0 1 1

A base tem dois elementos então o posto da T L é 2 .

Passo 7

f   T x , y , z = x - 3 y , x - z , z - x = x 1,1 , - 1 + y - 3,0 , 0 + z 0 , - 1,1

Logo,

I m T = s p a n 1,1 , - 1 , - 3,0 , 0 , 0 , - 1,1

Esse daí dá pra perceber que é L D né? Se não viu eu te dou uma ajuda:

1,1 , - 1 = - 1 3 - 3,0 , 0 - 0 , - 1,1

Foi? Beleza então. Podemos descartar o primeiro vetor e tomar como base para a imagem:

- 3 0 0 , 0 - 1 1

Base de dois elementos, então dim ⁡ I m T = 2 .

Passo 8

g   T a t + b = a , 2 a , a - b = a 1,2 , 1 + b 0,0 , - 1

Daí,

I m T = 1,2 , 1 , 0,0 , - 1

Como são L I , eles formam uma base para a imagem:

1,2 , 1 , 0,0 , - 1

Dois elementos na base, então a imagem tem dimensão 2 .

Passo 9

h   T a b c d = a - b , a + b = a 1,1 + b - 1,1

Desse modo,

I m T = s p a n 1,1 , - 1,1 = R 2

São L I , então uma base para a imagem é:

1,1 , - 1,1

O posto da T L vale 2 pois possui dois elementos em sua base.

UFAAAA! Acabamos, nem foi tão ruim né? :P

Resposta

a I m T = 3 , - 3 , - 1,1

b a s e = - 1,1

dim ⁡ I m T = 1

b I m T = s p a n 1,1 , 0 , 1,0 , 2

b a s e = 1 1 0 , 1 0 2

dim ⁡ I m T = 2

c I m T = R 2

b a s e = 1,1 , - 2,1

dim ⁡ I m T = 2

d I m T = R 2

b a s e = 1 2 , 2 - 1

dim ⁡ I m T = 2

e I m T = 1 , - 1,1 , - 1,2 , 0 , ( - 2,1 , - 3 )

b a s e = 1 - 1 1 , 0 1 1

dim ⁡ I m T = 2

f I m T = s p a n 1,1 , - 1 , - 3,0 , 0 , 0 , - 1,1

b a s e = - 3 0 0 , 0 - 1 1

dim ⁡ I m T = 2

g I m T = 1,2 , 1 , 0,0 , - 1

b a s e = 1,2 , 1 , 0,0 , - 1

dim ⁡ I m T = 2

h I m T = R 2

b a s e = 1,1 , - 1,1

dim ⁡ I m T = 2

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