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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.1, Questão 13

Dentre as transformações lineares T : R 2 ⟶ R 2 abaixo, assinale aquela cujo núcleo é a reta 3 x + 2 y = 0 e cuja imagem é a reta 2 x + 6 y = 0

a) T x , y = ( - 18 x - 12 y , - 6 x + 4 y )

b)   T x , y = ( - 18 x + 12 y , - 6 x + 4 y )

c) T x , y = ( - 18 x - 12 y , 6 x + 4 y )

d) T x , y = ( - 18 x + 12 y , 6 x + 4 y )

Passo 1

Bom, o jeito mais fácil de ver isso é ver a imagem. Ela deve ser a reta 2 x + 6 y = 0 , ou seja, vai ter dimensão 1 e a base será β = { - 3 , 1 } , pois esse é o vetor que gera a reta:

2 x + 6 y = 0 ⟹ x = - 3 y

x , y = - 3,1 y

a )   - 18 x - 12 y , - 6 x + 4 y = x - 18 , - 6 + y ( - 12,4 )

Como são não são múltiplos, essa imagem tem dimensão 2 e não é a que queremos.

b)   - 18 x + 12 y , - 6 x + 4 y = x - 18 , - 6 + y ( 12,4 )

Nessa situação, eles são multiplos entre si, ou seja, é uma imagem de dimensão 1, mas não são multiplos de - 3 , 1 . Ou seja, essa imagem é uma reta, mas não a que queremos, 2 x + 6 y = 0 .

c) - 18 x - 12 y , 6 x + 4 y = x - 18,6 + y ( - 12,4 )

Opa, aqui deu certo! São ambos múltiplos de - 3 , 1 ! Então essa deve ser a resposta, mas só pra confirmar, vamos ver o núcleo:

- 18 x + 12 y = 0 6 x + 4 y = 0

Tenho então que y = - 3 x 2 o mesmo que 3 x + 2 y = 0 !! Ou seja, tudo como eu queria!!

Resposta

c

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