A2 T11 T12
Seja uma transformação linear entre o espaço vetorial dos polinômios de grau até com coeficientes reais, e o espaço vetorial das matrizes coluna com linhas, com elementos reais. Se a matriz associada a , em relação às bases canônicas de e é:
Determine uma base para , o subespaço de cujos elementos são imagem de , para algum .
Determine uma base para , o subespaço de cujos elementos tem imagem .
Dica: A base canônica de é , e seus vetores são escritos, nesta base, simplesmente como ,
Passo 1
Vamos pegar um polinômio genérico de :
Escrevendo ele na base canônica temos:
Aplicando ele na transformação:
E taí a nossa imagem:
E uma base pra ela:
Passo 2
Agora queremos saber que polinômios zeram nossa matriz, então temos que resolver o sistema homogêneo:
Tranquilinho né? Temos que o vetor genérico do nosso núcleo é:
Então uma base para nosso núcleo é:
Ou seja, funções constantes.
Resposta