Considere a transformação linear dada pela matriz

Onde k é uma constante real. Determine, se possível, o que é pedido abaixo em cada item.

Caso não seja possível, justifique.

(a) Todos os valores de k tais que

(b) Todos os valores de k tais que

(c) Todos os valores de k tais que

(d) Todos os valores de k tais que

(a) e (b)

O contradomínio da transformação T é .

Como a imagem mora no contradomínio, sua dimensão é menor ou igual a 3:

Lembra que a dimensão da imagem também é igual ao número de linhas LI?

Para que a dimensão da imagem seja 0, todas as 3 linhas teriam que ser LD, certo?

Mas os vetores u e w das linhas não são múltiplos, pois a primeira coordenada de u é um inteiro e a primeira de w é zero.

Então, a dimensão da imagem de T só pode ser 2 ou 3.

(c) Para que , a segunda linha da matriz T, isso é, o vetor v, teria que uma combinação linear de u e w.

Ou seja, teríamos que ter:

Da primeira coordenada, temos que:

Substituindo na terceira:

Substituindo esses valores na quarta coordenada:

(d) Vamos usar o raciocínio “contrário” da (c) aqui!

Queremos que a dimensão da imagem seja 3, então nenhuma das linhas vai poder ser CL de outra.

Como vimos que só era possível a segunda linha ser CL da primeira e da terceira, e a condição para isso era que:

Agora, para que isso não ocorra, vamos ter:

Ou seja, qualquer valor de é possível para que Dim(Im(T)) seja 3.