Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Uma circunferência de raio r rola sem escorregar ao longo do eixo O x . Encontre equações paramétricas para a curva descrita por um ponto P ( θ ) da circunferência que se encontra inicialmente na origem. (Esta curva é chamada ciclóide, veja a Figura 1(b))

Passo 1

Eaew, beleza?

Temos uma circunferência de raio r rolando ao longo do eixo O x (para a direita), precisamos parametrizar a curva que o ponto P ( θ ) percorre enquanto este movimento ocorre, esta curva é o ciclóide descrito na parte ( b ) da figura

O segredo aqui é escrever as coordenadas x e y em termos de r e θ , mas para fazer isso será necessário usar algumas relações trigonométricas básicas e visualizar algumas figuras! Vem comigo!

Passo 2

Imagine que essa roda está molhada de tinta e que por onde passa ela deixa um rastro! O tamanho do rastro será exatamente o tamanho do arco que tocou o chão ao longo do movimento, então, temos que a seguinte distância

em que temos que x ' = r θ , comprimento de arco, mas note que a coordenada no ponto será

x = r θ - r   c o s ( θ - π / 2 ) = r ( θ   - s e n ( θ ) )

já que o cosseno e o seno são duas funções trigonométricas relacionadas por uma fase π / 2 . Da mesma forma, temos que a coordenada vertical será

y = r + r   s e n ( θ - π / 2 ) = r ( 1 - c o s ( θ ) )

em que o sinal de menos surge devido a paridade da função seno! Se quiser visualizar isso um pouco melhor tente expandir a expressão s e n ( a - b ) e c o s ( a - b ) usando a identidade trigonométrica, a parametrização do ciclóide é então dada por

γ ( θ ) = [ r ( θ - s e n ( θ ) ) , r ( 1 - c o s ( θ ) ) ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

γ ( θ ) = [ r ( θ - s e n ( θ ) ) , r ( 1 - c o s ( θ ) ) ]

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