A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando o mesmo, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo (figura). Supondo que o centro do carretel está colocado na origem do plano e seu raio é , e que o fio começa a se desenrolar no ponto . Mostre que as equações paramétricas da Involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:

e ,

Utilizando como parâmetro o ângulo mostrado na figura.

Beleza, agora podemos achar também um vetor tangente ao vetor :

Esse vetor é paralelo ao vetor , mas está no sentido oposto a ele. Vamos utilizar essas informações por partes.

Como está no sentido oposto de e , devemos inverter o sentido de :

(sentido invertido)

Como já sabemos que é paralelo a e a informação que temos sobre é a respeito de seu comprimento, vamos achar o comprimento de :

(porque

Opa, o comprimento de e diferem por um fator multiplicativo Então, para e virarem o mesmo vetor, temos que multiplicar por (para que os comprimentos dos dois vetores fiquem iguais, agora que eles já tem o mesmo sentido):

Agora, como sabemos que

Substituindo os resultados encontrados, temos:

,