Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

Ver Teoria

Enunciado

Parametrize a curva C definida por

C   :   y + z = 2 z 2 = 2 x 2 + 2 y 2

E esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.

Passo 1

Olá meu amigo, tudo na paz? Agora é a hora de resolver essa querida atividade. Primeira coisa é parametrizar a curva, e isso pode ser feito de várias formas.

Aqui, nós iremos chamar de t = y e substituir nas equações.

Passo 2

Então,

t + z = 2

z = 2 - t

Agora na segunda equação

2 - t 2 = 2 x 2 + 2 t 2

4 - 4 t + t 2 = 2 x 2 + 2 t 2

4 - 4 t - t 2 = 2 x 2

4 - 4 t - t 2 2   = x

Então nossa curva C pode ser dada por

4 - 4 t - t 2 2 ,   t ,   2 - t

Passo 3

Para esboçar as projeções de C nos planos coordenados, escolhemos duas coordenadas entre 4 - 4 t - t 2 2 ,   t ,   2 - t

E igualamos à variável do plano escolhido.

Escolhendo duas coordenadas de C pararem plotadas no gráfico, temos

4 - 4 t - t 2 2   = x

Então essa é a nossa projeção. Mas vale lembrar que essa é uma das possíveis projeções, pois podemos por exemplo parametrizar de outra forma nossa curva.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

Exercícios de Livros Relacionados

Uma curva, denominada bruxa de Maria Agnesi, consiste em todas as possíveis posições possíveis do ponto P na figura. Mostre que as equações paramétricas para essa curva podem ser escritas como x = 2 a
Deduza as Equações I para o caso π 2θπ .OBS:As equações I são as equações paramétricas do cicloide dadas por x = r ( θ - sen ⁡ θ ) y = r ( 1 - cos ⁡ θ ) θ ∈ R
Seja P um ponto a uma distância d do centro de um círculo de raio r . A curva traçada por P quando o círculo gira sobre uma reta é chamada trocoide. (Pense no movimento de um ponto sobre um raio de um
Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r = 1 + cos ⁡ θ
Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r = 2 - 2 cos ⁡ θ