Exercícios Resolvidos de Energia Cinética + Energia Gravitacional + Energia Elástica
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UFJF. Física 1. Prova AV2 SUB. 2015.2. Questão 3.
3 – Num parque de diversão, um trenó de massa parte do repouso e desliza sobre um tobogã de altura inicial , com um loop de raio . Depois de descer o loop, o carrinho ainda tem de trilho até tocar em uma mola de contenção que freia o trenó, com que pode ser comprimida, no máximo, . Para suavizar a colisão, os engenheiros modificaram a superfície ao longo da distância após o loop para que houvesse uma força de atrito para ajudar a frear o carro.
a) qual a altura inicial necessária para que o carrinho complete o loop?
b) considere o coeficiente de atrito entre o trenó e a superfície horizontal depois do loop como sendo e a altura . A constante elástica da mola é grande o suficiente para fazer o carro parar? Justifique com cálculos e explique.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Como descrito no enunciado do problema, temos um trenó no topo de um tobogã de altura e ao descer, ele faz um loop de raio e logo depois percorre uma distância até bater em uma mola de constante que faz o trenó parar. Porém essa mola só consegue ser comprimida .
Com isso, queremos saber qual é a altura mínima que o tobogã deve ter para que o trenó consiga fazer o loop.
E dado que o atrito da parte é , o carrinho consegue parar suavemente ao atingir a mola?
Como podemos fazer isso? 🤔
Podemos até pensar que a altura mínima para seja a altura do loop, não é? Mas o problema é que se for isso, ao chegar no topo do loop, o carrinho não terá velocidade para completar o loop e vai despencar.
Então temos que encontrar alguma maneira de obter essa altura mínima .
Já depois do loop, parte na energia cinética adquirida na queda do trenó será perdida pela força de atrito, assim calculando essa perda podemos analisar a conservação de energia.
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
No ponto mais alto do loop, para que o trenó não perca contato com a superfície deve haver energia cinética sob o carrinho ainda, mas quanto maior?
Logo na base do loop, a energia mecânica no carro é
Já no topo do loop a energia mecânica deve ser
Igualando as duas energias, temos
Simplificando...
A aceleração centrípeta aponta para o centro do movimento rotacional, não é? Ela é dada por
No caso, a aceleração centrípeta do movimento do trenó deve ser menor que a aceleração gravitacional ou se não o trenó despenca, concorda?
E consequentemente
Comparando a energia cinética no topo do tobogã com a energia cinética na base do tobogã, onde a velocidade do trenó é
Simplificando...
Substituindo , temos
portanto, descobrimos que a altura que permita o trenó realizar o loop é do raio , ou seja
Interessante, não é? 😎
Passo 3
Agora temos que saber se o carrinho para suavemente ou não.
Pra isso, ele deve colidir com a mola e a mola não pode comprimir mais que .
Assim, vamos usar o princípio de conservação de energia.
Inicialmente, toda a energia está na forma de energia potencial quando o carrinho está no topo do tobogã.
O carrinho desce, faz o loop e entra na zona que há atrito. Parte da energia é dissipada e o carrinho atinge a mola.
Vamos começar calculando a energia inicial do trenó.
Se , e , então
O carrinho atingiu o ponto mais baixo do tobogã com essa energia, agora ele entra na zona de e coeficiente de atrito .
Como vamos calcular a energia que é dissipada pela força de atrito?
Lembra que a energia convertida por uma força é dada pelo trabalho que ela realiza?
O trabalho de uma força é dado por
No caso da força de atrito, como o deslocamento é contrário à força , o trabalho é negativo e a energia é dissipada.
E para encontrar a força de atrito, temos que lembrar que ela é dada por
Como a normal é dada por , então
Substituindo em , temos
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 4
Se , , e , a energia dissipada pela força de atrito será
Veja só, inicialmente a energia no trenó era de , com a ação da força de atrito, foram perdidos , então imediatamente antes de tocar a mola, o trenó possui uma energia de
Essa energia é transferida para mola e temos que descobrir que essa energia é o suficiente para ela.
Lembra qual é a energia dissipada por uma mola?
Substituindo e
Isolando
Tirando a raiz dos dois lados para eliminar o expoente em
Como
Ou seja, .
Incrível né? A mola é comprimida até o limite!
Portanto, sim, o trenó para suavemente!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
a)
b) Para suavemente.