Plutão se movimenta em uma órbita claramente elíptica em torno do Sol. A velocidade de Plutão em seu ponto mais próximo, 4,43 × 1 0 9   k m do Sol é de 6,12   k m / s . Qual é a velocidade de Plutão no ponto mais distante de sua órbita, onde se encontra a 7,30 × 1 0 9   k m do Sol?

Passo 1

Eaew, tudo certinho com você?

Temos descrita aqui a órbita elíptica de Plutão. Note que, ele tem uma velocidade maior 6,12   k m / s quando está mais próximo do sol, 4,43 × 1 0 9   k m , e, logicamente, a sua velocidade será menor a uma distância 7,30 × 1 0 9   k m . Mas como encontramos o valor dessa velocidade? Usando conservação de energia! Só precisamos lembrar que nesta situação a energia mecânica é composta por

U = - G M m d e K = 1 2 m v 2

em que m é a massa de Plutão, M é a massa do Sol, d é a distância na órbita, e G é a constante de gravitação universal! Vamos tentar resolver esse problema!

Passo 2

Na posição d 1 = 4,43 × 1 0 9   k m , temos que a velocidade é conhecida como v 1 = 6,12   k m / s , portanto, a seguinte expressão é conhecida

E = - G M m d 1   + 1 2 m v 1 2

na segunda posição, que está a uma distância d 2 = 7,30 × 1 0 9   k m , temos que

E = - G M m d 2   + 1 2 m v 2 2

A conservação de energia diz que

- G M m d 1   + 1 2 m v 1 2 = - G M m d 2   + 1 2 m v 2 2

De maneira que a velocidade desejada por ser obtida como

v 2 2 = 2 G M ( 1 d 2 - 1 d 1 ) + v 1 2 = 2 G M ( d 1 - d 2 ) d 1 d 2 + v 1 2

Vamos usar os valores e obter a nossa velocidade! Vem comigo!

Passo 3

Usando que G = 6,674 × 1 0 - 11   N   m 2 / k g , e que a massa do Sol é M = 1,989 × 1 0 30   k g , temos que

v 2 2 = 2 ( 6,674 × 1 0 - 11 N   m 2 / k g ) ( 1,989 × 1 0 30 k g ) ( 4,43 × 1 0 9 × 1 0 3   m - 7,30 × 1 0 9 × 1 0 3 m ) ( 4,43 × 1 0 9 × 1 0 3 m ) ( 7,30 × 1 0 9 × 1 0 3 m ) + ( 6,12 × 1 0 3 m / s ) 2

Realizando os cálculos com uma calculadora, temos que

v 2 ≈ 3,73   × 1 0 3   m / s = 3,73   k m / s

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

v 2 ≈ 3,73   k m / s

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