Suponha que um planeta é uma esfera homogênea de raio R que (de alguma forma) possui um túnel radial estreito que passa pelo centro do planeta (figura 3). Suponha também que é possível posicionar uma maçã em qualquer lugar do túnel ou do lado de fora do planeta. Seja F R o módulo da força gravitacional experimentada pela maçã quando está na superfície do planeta. A que distância da superfície está o ponto no qual o módulo da força gravitacional que o planeta exerce sobre a maçã é F R / 2 se a maçã for deslocada:

( b ) Para dentro do túnel?

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

A situação que temos é dada pela seguinte figura

o fato do corte ser estreito quer dizer que não precisamos considerar variações no raio da esfera (Terra) devido ao corte. O enunciado pede para avaliarmos duas situações (uma para cada alternativa), a segunda alternativa requer que encontremos a distância do centro r tal que a força gravitacional seja dada por

F g = F R 2

em que F R é o módulo da força gravitacional na superfície da esfera, e F g é a força gravitacional a uma distância qualquer r . Vamos usar a lei da gravitação universal de Newton e o teorema das cascas para tentar resolver esse problema!

Passo 2

A lei da gravitação universal de Newton diz que o módulo da força gravitacional é dada por

F g = G M m r 2

No entanto, como agora a nossa partícula está no interior da esfera, a massa que é exterior a partícula não irá influenciar na força gravitacional, portanto, teremos na verdade a seguinte situação

F g = G M ' m r 2 = G M m 2 R 2 = F R 2

de forma que devemos encontrar uma distância r , tal que

G M ' m r 2 = G M m 2 R 2 = F R 2

em que M ' é a massa interna a partícula m . Vamos tentar encontrá-la!

Passo 3

Se a massa for uniformemente distribuída, temos que

ρ = M V = M ' V '

portanto, considerando que a esfera interior é tal que

V ' = 4 π 3 r 3

e que

V = 4 π 3 R 3

temos que a nova massa será

M ' = M   V ' V = M   r 3 R 3

Vamos usar esse resultado na expressão para a força gravitacional! Saca só!

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior, temos que

G M   r 3 m R 3 r 2 = G M m 2 R 2

simplificando alguns termos obtemos que

r R = 1 2

Portanto, temos simplesmente que

r = R 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

r = R 2

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