UNICAMP, Sem Campus, Física 2, Listas de Física 2 - UNICAMP - Lista 1 - Gravitação, Questão 5b
Suponha que um planeta é uma esfera homogênea de raio que (de alguma forma) possui um túnel radial estreito que passa pelo centro do planeta (figura 3). Suponha também que é possível posicionar uma maçã em qualquer lugar do túnel ou do lado de fora do planeta. Seja o módulo da força gravitacional experimentada pela maçã quando está na superfície do planeta. A que distância da superfície está o ponto no qual o módulo da força gravitacional que o planeta exerce sobre a maçã é se a maçã for deslocada:
Para dentro do túnel?
Passo 1
Oiie, tudo bem com você?
A situação que temos é dada pela seguinte figura
o fato do corte ser estreito quer dizer que não precisamos considerar variações no raio da esfera (Terra) devido ao corte. O enunciado pede para avaliarmos duas situações (uma para cada alternativa), a segunda alternativa requer que encontremos a distância do centro tal que a força gravitacional seja dada por
em que é o módulo da força gravitacional na superfície da esfera, e é a força gravitacional a uma distância qualquer . Vamos usar a lei da gravitação universal de Newton e o teorema das cascas para tentar resolver esse problema!
Passo 2
A lei da gravitação universal de Newton diz que o módulo da força gravitacional é dada por
No entanto, como agora a nossa partícula está no interior da esfera, a massa que é exterior a partícula não irá influenciar na força gravitacional, portanto, teremos na verdade a seguinte situação
de forma que devemos encontrar uma distância , tal que
em que é a massa interna a partícula . Vamos tentar encontrá-la!
Passo 3
Se a massa for uniformemente distribuída, temos que
portanto, considerando que a esfera interior é tal que
e que
temos que a nova massa será
Vamos usar esse resultado na expressão para a força gravitacional! Saca só!
Passo 4
Usando o resultado do passo anterior, temos que
simplificando alguns termos obtemos que
Portanto, temos simplesmente que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!