USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 1.2c
1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:
c. ;
Passo 1
Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉
Nesse problema, queremos obter uma parametrização da intersecção entre as curvas e .
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
O intuito de parametrizar uma curva é reescrevê-la em função de menos variáveis. Pra isso podemos encontrar simetrias que facilitam na hora de simplificar nossa parametrização ou definir as coordenadas em torno de uma única variável fazendo as outras variáveis ser escritas como funções da primeira.
Deu pra sacar? 👀
Passo 2
Por exemplo, no nosso caso temos a superfície que é intersectada pela superfície .
Isolando na primeira equação e na segunda equação, temos
Igualando as duas equações, chegamos em
Completando quadrados em sabendo que e fazendo o mesmo com , temos
Porém, temos um problema! Ao fazer isso adicionamos ao lado esquerdo, então para balancear a igualdade, adicionamos também ao lado direito
Tranquilo até aqui? 😬
Passo 3
Perceba que essa curva possui uma simetria cilíndrica, assim, podemos usara parametrização em coordenadas polares dada por
Pela igualdade da equação , podemos ver que , ou seja
Porém, novamente, para satisfazer a igualdade temos que somar em e em por conta do termo nos quadrados
Assim, substituindo e na equação , podemos obter a parametrização de como
Simplificando...
Dessa forma, nossa curva parametrizada será dada por
Pegou o esquema? Responde Aí! 😁
