2.7. Determine a equação da esfera que tangencia a superfície x - 1 2 + y - 2 2 4 - z - 1 2 = 0 nos pontos 2,2 , 2 e 2,2 , 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos uma superfície dada pela equação x - 1 2 + y - 2 2 4 - z - 1 2 = 0 e temos que obter a esfera que tangencia a superfície nos pontos 2,2 , 2 e 2,2 , 0 .

E aí, tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Primeiramente podemos obter os planos tangentes à superfície nos pontos e manipulalos de modo a obter algum indício das coordenadas x 0 , y 0 e z 0 do centro da esfera.

Para os pontos serem tangentes a uma esfera, eles devem ser equidistantes a R , dessa forma, analisamos como os planos tangentes estão dispostos para obter o raio R .

Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter os planos tangentes da superfície através da equação

f x x - x 0 + f y y - y 0 + f z z - z 0 = 0

Reescrevendo a equação...

x - 1 2 + y - 2 2 4 - z - 1 2 = 0

x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4 4 - z 2 + 2 z - 1 = 0

x 2 - 2 x + y 2 4 - y - z 2 + 2 z + 1 = 0

Calculando as derivadas parciais

f x = ∂ x 2 - 2 x + y 2 4 - y - z 2 + 2 z + 1 ∂ x = 2 x - 2

f y = ∂ x 2 - 2 x + y 2 4 - y - z 2 + 2 z + 1 ∂ y = y 2 - 1

f z = ∂ x 2 - 2 x + y 2 4 - y - z 2 + 2 z + 1 ∂ z = 2 - 2 z

Para o ponto 2,2 , 2 , temos

2 · 2 - 2 x - 2 + 2 2 - 1 y - 2 + 2 - 2 · 2 z - 2 = 0

2 x - 2 + 0 y - 2 + - 2 z - 2 = 0

2 x - 4 - 2 z + 4 = 0

z = x

Para o ponto 2,2 , 0

2 · 2 - 2 x - 2 + 2 2 - 1 y - 2 + 2 - 2 · 0 z - 2 = 0

2 x - 2 + 0 y - 2 + 2 z - 2 = 0

2 x - 4 + 2 z - 4 = 0

z = 4 - x

Dessas equações, vemos que y é constante em todas elas, portanto y 0 é igual o y dos dois pontos

y 0 = 2

Além disso, desses planos, podemos tirar que como o primeiro tem coeficiente angular igual a 1 e o outro igual a - 1 , eles são perpendiculares entre si... isso significa que a distância dos pontos até o centro da circunferência é igual a distância dos pontos ao ponto de intersecção entre os planos quando y = 2

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Como a equação da esfera é dada genericamente por

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = R 2

Podemos substituir x , y e z por 2,2 , 2 e 2,2 , 0 e igualar as duas equações...

2 - x 0 2 + 2 - y 0 2 + 2 - z 0 2 = R 2 = 2 - x 0 2 + 2 - y 0 2 + 0 - z 0 2

2 - x 0 2 + 2 - y 0 2 + 2 - z 0 2 = 2 - x 0 2 + 2 - y 0 2 + - z 0 2

2 - z 0 2 = - z 0 2

Simplificando...

4 - 4 z 0 + z 0 2 = z 0 2

z 0 = 1

Até agora encontramos y 0 e z 0 .

A partir da última afirmação do passo anterior, podemos obter o raio R calculando a distância dos pontos até a intersecção entre os planos.

Pra isso, igualamos os planos z

z = x = 2 - x

2 x = 2

x = 1

Ou seja, a distância de 2,2 , 2 até 1,2 , 1 é igual ao raio R da esfera...

Aplicando a equação da distância entre dois pontos...

R = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

R = 2 - 1 2 + 2 - 2 2 + 2 - 1 2

R = 1 + 0 + 1

R = 2

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Agora, finalmente, só nos resta obter x 0 ...

x - x 0 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 2

Substituindo 2,2 , 2 ou 2,2 , 0 em x , y , z obtemos o valor de x 0

2 - x 0 2 + 2 - 2 2 + 2 - 1 2 = 2

4 - 4 x 0 + x 0 2 + 1 = 2

x 0 2 - 4 x 0 + 3 = 0

Obtendo as raízes dessa equação, temos

x 0 = 3 x 0 = 1

x 0 = 1 não pode ser pois é o ponto de intersecção entre os planos tangentes, portanto, temos que x 0 = 3 .

Substituindo na equação da esfera, temos

x - 3 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x - 3 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 2

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