USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 2.7
2.7. Determine a equação da esfera que tangencia a superfície nos pontos e .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema temos uma superfície dada pela equação e temos que obter a esfera que tangencia a superfície nos pontos e .
E aí, tem ideia de como fazemos isso? 🤔
Primeiramente podemos obter os planos tangentes à superfície nos pontos e manipulalos de modo a obter algum indício das coordenadas , e do centro da esfera.
Para os pontos serem tangentes a uma esfera, eles devem ser equidistantes a , dessa forma, analisamos como os planos tangentes estão dispostos para obter o raio .
Bora começar! 😉
Passo 2
Primeiro vamos obter os planos tangentes da superfície através da equação
Reescrevendo a equação...
Calculando as derivadas parciais
Para o ponto , temos
Para o ponto
Dessas equações, vemos que é constante em todas elas, portanto é igual o dos dois pontos
Além disso, desses planos, podemos tirar que como o primeiro tem coeficiente angular igual a e o outro igual a , eles são perpendiculares entre si... isso significa que a distância dos pontos até o centro da circunferência é igual a distância dos pontos ao ponto de intersecção entre os planos quando
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Como a equação da esfera é dada genericamente por
Podemos substituir , e por e e igualar as duas equações...
Simplificando...
Até agora encontramos e .
A partir da última afirmação do passo anterior, podemos obter o raio calculando a distância dos pontos até a intersecção entre os planos.
Pra isso, igualamos os planos
Ou seja, a distância de até é igual ao raio da esfera...
Aplicando a equação da distância entre dois pontos...
Bacana, não é? 😁
Passo 4
Agora, finalmente, só nos resta obter ...
Substituindo ou em obtemos o valor de
Obtendo as raízes dessa equação, temos
não pode ser pois é o ponto de intersecção entre os planos tangentes, portanto, temos que .
Substituindo na equação da esfera, temos
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
