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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 2.8a

2.8. Suponha que sobre um certo aberto A ⊂ R 3 o potencial elétrico V : A → R é dado por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z .

a. Ache a taxa de variação do potencial em P = 3,4 , 5 na direção do vetor v → = î + j ^ - k ^ .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos uma função potencial dada por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z e nosso objetivo é obter a taxa de variação do potencial em P = 3,4 , 5 na direção do vetor v → = 1,1 , - 1 .

E aí, como fazemos isso? 🤔

Para obter a taxa de variação de uma função em um ponto e uma direção podemos usar a derivada direcional da função.

A derivada direcional de uma função f em um ponto P e em uma direção u → é dada por

D u f P = u 1 · f x P + u 2 · f y P + u 3 · f z P

Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos definir o vetor u → ...

No problema foi dito que estamos interessados da direção do vetor v → , logo, u → vai ser obtido como

u → = v → v →

Se v → = 1,1 , - 1 , então

u → = 1,1 , - 1 1 2 + 1 2 + - 1 2 = 1 3 1,1 , - 1

A próxima etapa é obter as derivadas parciais de V ...

V x = ∂ 5 x 2 - 3 x y + x y z ∂ x = 10 x - 3 y + y z

V y = ∂ 5 x 2 - 3 x y + x y z ∂ y = - 3 x + x z

V z = ∂ 5 x 2 - 3 x y + x y z ∂ z = x y

Aplicando o ponto P = 3,4 , 5 nos resultados

V x P = 10 3 - 3 4 + 4 5 = 38

V y P = - 3 3 + 3 5 = 6

V z P = 3 4 = 12

E finalmente substituindo os resultados na fórmula da derivada direcional...

D u V P = u 1 · V x P + u 2 · V y P + u 3 · V z P

D u V P = 1 3 1 · 38 + 1 · 6 - 1 · 12

D u V P = 32 3

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

D u V P = 32 3

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