2.8. Suponha que sobre um certo aberto A ⊂ R^3 o potencial elétrico V: A → R é dado por V(x, y, z) = 5 * x^2 - 3 * xy + xyz .

b. Qual a direção e sentido em que a taxa do potencial elétrico, em P , é a maior possível? E a menor possível?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos uma função potencial elétrico dada por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z e nosso objetivo é obter a direção onde ocorre a maior e a menor taxa de variação do potencial V no ponto P = 3,4 , 5 .

E agora? o que vamos fazer? 😬

Esse é um problema de derivadas direcionais onde temos que encontrar a direção onde a taxa de variação de uma função é a maior e a menos possível.

A derivada direcional de uma função f , em um ponto P e uma direção u → é dada pelo produto interno

D u f P = u → u → · f x P , f y P . f z P

Assim, o ponto de maior crescimento se dá na direção do vetor gradiente, ou seja

u → = f x P , f y P . f z P

Dessa forma podemos imaginar que a direção que aponta para a menor variação é dada por - u → ...

Bora começar! 😎

Passo 2

Primeiro vamos obter as derivadas parciais de V

V x = ∂ 5 x 2 - 3 x y + x y z ∂ x = 10 x - 3 y + y z

V y = ∂ 5 x 2 - 3 x y + x y z ∂ y = - 3 x + x z

V z = ∂ 5 x 2 - 3 x y + x y z ∂ z = x y

Substituindo o ponto P nas derivadas, vamos obter

V x P = 10 3 - 3 4 + 4 5 = 38

V y P = - 3 3 + 3 5 = 6

V z P = 3 4 = 12

Portanto, o vetor u → que aponta para onde a função tem a maior taxa de variação é dado por

u → = 38,6 , 12

Já a direção de menor variação é dada por - u → , ou seja

v → = - 38,6 , 12

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

u → = 38,6 , 12

v → = - 38,6 , 12

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