USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 2.8b
2.8. Suponha que sobre um certo aberto o potencial elétrico é dado por .
b. Qual a direção e sentido em que a taxa do potencial elétrico, em , é a maior possível? E a menor possível?
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, temos uma função potencial elétrico dada por e nosso objetivo é obter a direção onde ocorre a maior e a menor taxa de variação do potencial no ponto .
E agora? o que vamos fazer? 😬
Esse é um problema de derivadas direcionais onde temos que encontrar a direção onde a taxa de variação de uma função é a maior e a menos possível.
A derivada direcional de uma função , em um ponto e uma direção é dada pelo produto interno
Assim, o ponto de maior crescimento se dá na direção do vetor gradiente, ou seja
Dessa forma podemos imaginar que a direção que aponta para a menor variação é dada por ...
Bora começar! 😎
Passo 2
Primeiro vamos obter as derivadas parciais de
Substituindo o ponto nas derivadas, vamos obter
Portanto, o vetor que aponta para onde a função tem a maior taxa de variação é dado por
Já a direção de menor variação é dada por , ou seja
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
