1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície S: x^2 + y^2 - z^2 = 0 . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

a. α(t) = tg(t), 1, sec(t), t ∈ ]-pi/2, pi/2[

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos saber se a curva α t dada por

α t = t g t , 1 , sec ⁡ t ,     t ∈ ] - π / 2 , π / 2 [

Está contida na superfície S : x 2 + y 2 - z 2 = 0 .

Sabe como verificamos isso? 🤔

O segredo é substituir α t em S e verificar se a equação formada possui solução.

Por exemplo, a superfície S é dada pela equação

x 2 + y 2 - z 2 = 0

Já a curva α t é dada genericamente por

α t = x t , y t , z t

Assim reescrevendo S como

x t 2 + y t 2 - z t 2 = 0

Sacou a ideia? 😉

Passo 2

No nosso caso, a partir de α t , temos

x t = t g t y t = 1 z t = sec ⁡ t

Substituindo na superfície S , vamos obter

x 2 + y 2 - z 2 = 0

t g 2 t + 1 2 - sec 2 ⁡ t = 0

Por identidades trigonométricas, temos que

t g 2 t - s e c 2 t = - 1

Ou seja...

1 - 1 = 0

0 = 0

Portanto, vemos que a curva α t está sim contida na superfície S .

Plotando S e α t , chegamos em

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Está contida.

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